3 Sistem Persamaan Linear dan Cara Menyelesaikannya

The persamaan linear mereka adalah persamaan polinom dengan satu atau beberapa tidak diketahui. Dalam kes ini, yang tidak diketahui tidak dinaikkan kepada kuasa, atau mereka tidak berlipat ganda di antara mereka sendiri (dalam kes ini dikatakan bahawa persamaan adalah ijazah 1 atau ijazah pertama).

Persamaan adalah persamaan matematik di mana terdapat satu atau lebih elemen yang tidak diketahui yang akan kita panggil tidak diketahui atau tidak diketahui dalam kes yang terdapat lebih dari satu. Untuk menyelesaikan persamaan ini adalah perlu untuk mengetahui nilai yang tidak diketahui.

Persamaan linear mempunyai struktur berikut:

a₀· 1 + a₁· X₁+ a₂· X₂+... + a_n· X_n= b

Di mana₀, a₁, a₂,..., a_n adalah bilangan sebenar yang kita tahu nilai mereka dan dipanggil koefisien, b juga merupakan nombor sebenar yang diketahui yang dipanggil istilah bebas. Dan akhirnya mereka adalah X₁, X_2,..., X_n yang dikenali sebagai tidak diketahui. Ini adalah pembolehubah yang nilainya tidak diketahui.

Sistem persamaan linear adalah satu set persamaan linear di mana nilai yang tidak diketahui adalah sama dalam setiap persamaan.

Secara logiknya, cara untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear ialah memberikan nilai kepada yang tidak diketahui, supaya persamaan dapat diverifikasi. Maksudnya, yang tidak diketahui mesti dikira supaya semua persamaan sistem dipenuhi secara serentak. Kami mewakili sistem persamaan linear seperti berikut

a₀· 1 + a₁· X₁ + a₂· X₂ +... + a_n· X_n = a_{n + 1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ +... + b_n· X_n = b_{n + 1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ +... + c_n· X_n = c_{n + 1}

... .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ +... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 di mana a_0, a₁,..., a_n,b₀,b₁,..., b_n ,c₀ ,c₁,..., c_n dan lain-lain kita nombor sebenar dan yang tidak diketahui untuk menyelesaikan adalah X₀,..., X_n ,X_{n + 1}.

Setiap persamaan linear mewakili garis dan oleh itu sistem persamaan persamaan linear N mewakili N lurus dilukis di angkasa.

Bergantung kepada jumlah yang tidak diketahui mana setiap persamaan linear yang mewakili garis persamaan ini diwakili dalam dimensi yang berbeza, iaitu, satu persamaan dengan dua pembolehubah (contohnya 2 · X₁ + X₂ = 0) mewakili garis dalam ruang dua dimensi, persamaan dengan tiga tidak diketahui (contohnya 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) akan diwakili dalam ruang tiga dimensi dan sebagainya.

Apabila menyelesaikan sistem persamaan, nilai X₀,..., X_n ,X_{n + 1} berlaku sebagai titik potong di antara garisan.

Dengan menyelesaikan sistem persamaan kita dapat mencapai kesimpulan yang berbeza. Bergantung kepada jenis hasil yang kita dapat, kita boleh membezakan antara 3 jenis sistem persamaan linear:

1- Keserasian tidak dapat ditentukan

Walaupun ia mungkin terdengar seperti jenaka, adalah mungkin apabila cuba menyelesaikan sistem persamaan, kita akan sampai pada keterlibatan gaya 0 = 0.

Keadaan seperti ini berlaku apabila terdapat penyelesaian yang tidak terbatas untuk sistem persamaan, dan ini berlaku apabila ternyata bahawa dalam sistem persamaan kita, persamaan mewakili garis yang sama. Kita dapat melihatnya secara grafik:

Sebagai sistem persamaan yang kita ambil:

Dengan mempunyai 2 persamaan dengan 2 tidak diketahui untuk menyelesaikan, kita dapat mewakili garis dalam satah dua dimensi

Seperti yang kita lihat garis-garis dengan yang sama oleh itu semua titik persamaan pertama sepadan dengan persamaan kedua oleh itu mata sebanyak mata dipotong lurus, iaitu, tidak terhingga.

2- Tidak serasi

Apabila membaca nama, kita boleh bayangkan bahawa sistem persamaan seterusnya kita tidak akan mempunyai penyelesaian.

Jika kita cuba selesaikan, sebagai contoh, sistem persamaan ini

Secara grafiknya adalah:

Jika kita membiak semua syarat persamaan kedua, kita dapati bahawa X + Y = 1 sama dengan 2 · X + 2 · Y = 2. Dan jika ungkapan terakhir ini dikurangkan dari persamaan pertama, kita dapati

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Atau apa yang sama

0 = 1

Apabila kita berada dalam keadaan ini, garis-garis yang diwakili dalam sistem persamaan adalah selari, yang bermaksud bahawa dengan definisi, mereka tidak pernah dipotong dan tidak ada titik pemotongan. Apabila sebuah sistem dibentangkan dengan cara ini ia dikatakan bebas konsisten.

3- Sokongan yang ditentukan

Akhir sekali, kita dapat kes di mana sistem persamaan kita mempunyai penyelesaian tunggal, kes di mana kita mempunyai garis-garis yang bersilang dan menghasilkan titik persimpangan. Mari lihat contoh:

Untuk menyelesaikannya, kita boleh menambah dua persamaan supaya kita dapati

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Jika kita menyederhanakan, kita telah meninggalkannya

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Dari mana kita dengan mudah menyimpulkan bahawa X = 2 dan penggantian atau X = 2 dalam mana-mana persamaan asal kita memperoleh Y = 3.

Secara visual ia akan:

Kaedah penyelesaian sistem persamaan linear

Seperti yang kita lihat dalam bahagian sebelum ini, untuk 2 tidak diketahui dan 2 persamaan, berdasarkan operasi mudah seperti penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian dan penggantian kita boleh menyelesaikan dalam masa beberapa minit. Tetapi jika kita cuba menerapkan metodologi ini kepada sistem dengan lebih banyak persamaan dan lebih banyak yang tidak diketahui, pengiraan menjadi membosankan dan kita boleh dengan mudah sesat.

Untuk mempermudah pengiraan terdapat beberapa kaedah penyelesaian, tetapi sudah pasti kaedah paling luas adalah Peraturan Cramer dan Penghapusan Gauss-Jordan..

Kaedah pemancar

Untuk menerangkan bagaimana kaedah ini digunakan adalah penting untuk mengetahui matriksnya dan mengetahui cara mencari penentu, mari kita membuat kurungan untuk menentukan kedua-dua konsep ini.

Satu matriks ia tidak lebih daripada sekumpulan nombor atau simbol algebra yang diletakkan di dalam garis mendatar dan menegak dan diatur dalam bentuk segi empat tepat. Untuk tema kami, kami akan menggunakan matriks sebagai cara yang lebih mudah untuk menyatakan sistem persamaan kami.

Mari lihat contoh:

Ia akan menjadi sistem persamaan linear

Sistem mudah persamaan yang kita dapat meringkaskan adalah operasi dua matriks 2 × 2 yang menghasilkan matriks 2 × 1.

Matriks pertama sepadan dengan semua pekali, matriks kedua adalah yang tidak diketahui untuk menyelesaikan dan matriks yang terletak selepas persamaan itu dikenal pasti dengan istilah bebas persamaan

The penentu adalah operasi yang digunakan untuk matriks yang hasilnya adalah bilangan sebenar.

Dalam kes matriks yang kami dapati dalam contoh terdahulu kami, penentunya ialah:

Apabila konsep matriks dan penentu telah ditakrifkan, kita dapat menerangkan kaedah Cramer terdiri daripada.

Melalui kaedah ini, kita boleh menyelesaikan sistem persamaan linear selagi sistem tidak melebihi tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui sejak pengiraan penentu matriks adalah sangat sukar bagi matriks 4 × 4 atau lebih tinggi. Dalam kes mempunyai sistem dengan lebih daripada tiga persamaan linear, kaedah dengan penghapusan Gauss-Jordan adalah disyorkan.

Meneruskan dengan contoh terdahulu, dengan cara Cramer kita hanya perlu mengira dua penentu dan dengan itu kita akan dapati nilai dua yang tidak diketahui kita.

Kami mempunyai sistem kami:

Dan kita mempunyai sistem yang diwakili oleh matriks:

Nilai X dijumpai:

Hanya dalam pengiraan penentu yang terletak di penyebut bahagian, kita telah menggantikan komune pertama untuk matriks istilah bebas. Dan dalam penyebut bahagian ini kita mempunyai penentu matriks asal kita.

Melakukan pengiraan yang sama untuk mencari Y yang kita dapat:

Penghapusan Gauss-Jordan

Kami mentakrifkan matriks lanjutan ke matriks yang dihasilkan dari sistem persamaan di mana kita menambah istilah bebas pada akhir matriks.

Kaedah Gauss-Jordan penghapusan adalah melalui operasi antara baris matriks mengubah matriks kita berkembang dalam matriks yang lebih mudah di mana saya mempunyai sifar dalam semua bidang kecuali pepenjuru, di mana saya perlu mendapatkan. Seperti berikut:

Di mana X dan Y akan menjadi nombor sebenar yang sesuai dengan yang tidak dikenali.

Mari selesaikan sistem ini dengan menghilangkan Gauss-Jordan:

Kami telah berjaya memperoleh sifar di bahagian kiri bawah matriks kami, langkah seterusnya adalah untuk mendapatkan 0 di bahagian kanan atasnya.

Kami telah mencapai 0 di kiri atas matriks, sekarang kita hanya perlu menukar pepenjuru kepada yang dan kita telah menyelesaikan sistem kami oleh Gauss-Jordan.

Oleh itu, kita sampai pada kesimpulan bahawa:

Rujukan

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Sistem persamaan linear (tanpa tarikh). Pulih daripada uco.es.
4. Sistem persamaan linear. Bab 7. (tidak bertarikh). Diperolehi daripada sauce.pntic.mec.es.
5. Aljabar Linear dan Geometri (2010/2011). Sistem persamaan linear. Bab 1. Jabatan Algebra. Universiti Seville. Sepanyol Dipulihkan dari algebra.us.es.