Berapa banyak penyelesaian yang mempunyai persamaan kuadratik?

Persamaan kuadratik atau persamaan derajat kedua boleh mempunyai sifar, satu atau dua penyelesaian nyata, bergantung pada pekali yang muncul dalam persamaan tersebut.

Jika anda bekerja pada nombor kompleks maka anda boleh mengatakan bahawa setiap persamaan kuadrat mempunyai dua penyelesaian.

Untuk memulakan persamaan kuadratik adalah persamaan bentuk ax² + bx + c = 0, di mana a, b dan c adalah nombor nyata dan x adalah pemboleh ubah.

Dikatakan bahawa x1 ialah penyelesaian persamaan kuadratik sebelumnya jika menggantikan x dengan x1 memenuhi persamaan, iaitu, jika suatu (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Jika anda mempunyai contoh persamaan x²-4x + 4 = 0, maka x1 = 2 ialah penyelesaian kerana (2) ² -4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Sebaliknya, jika x2 = 0 diganti, kita memperolehi (0) ² -4 (0) + 4 = 4 dan sebagai 4 ≠ 0 maka x2 = 0 bukan penyelesaian persamaan kuadratik.

Penyelesaian Persamaan Kuadratik

Bilangan penyelesaian persamaan kuadrat boleh dipisahkan kepada dua kes iaitu:

1.- Dalam bilangan sebenar

Apabila bekerja dengan nombor sebenar, persamaan kuadratik boleh mempunyai:

-Penyelesaian sifar: iaitu, tidak ada nombor sebenar yang memenuhi persamaan kuadratik. Sebagai contoh, persamaan yang diberikan oleh persamaan x² + 1 = 0, tidak ada bilangan sebenar sedemikian yang memenuhi persamaan ini, kerana kedua-dua x² lebih besar daripada atau sama dengan sifar dan 1 lebih ketat daripada sifar, sehingga jumlahnya akan lebih besar ketat bahawa sifar.

-Penyelesaian berulang: terdapat satu nilai sebenar yang memenuhi persamaan kuadratik. Contohnya, satu-satunya penyelesaian kepada persamaan x²-4x + 4 = 0 ialah x1 = 2.

-Dua penyelesaian yang berbeza: terdapat dua nilai yang memenuhi persamaan kuadratik. Sebagai contoh, x² + x-2 = 0 mempunyai dua penyelesaian yang berbeza iaitu x1 = 1 dan x2 = -2.

2.- Dalam bilangan kompleks

Apabila bekerja dengan nombor kompleks persamaan kuadratik sentiasa mempunyai dua penyelesaian iaitu z1 dan z2 di mana z2 adalah konjugat z1. Di samping itu, mereka boleh diklasifikasikan dalam:

-Kompleks: penyelesaian adalah bentuk z = p ± qi, di mana p dan q adalah nombor nyata. Kes ini sepadan dengan kes pertama senarai sebelumnya.

-Kompleks Tulen: adalah apabila bahagian sebenar penyelesaian adalah sama dengan sifar, iaitu, penyelesaiannya mempunyai bentuk z = ± qi, di mana q adalah nombor nyata. Kes ini sepadan dengan kes pertama senarai sebelumnya.

-Kompleks dengan bahagian khayalan sama dengan sifar: adalah apabila bahagian kompleks penyelesaiannya bersamaan dengan sifar, iaitu penyelesaian itu adalah nombor sebenar. Kes ini sepadan dengan dua kes terakhir senarai terdahulu.

Bagaimana penyelesaian persamaan kuadratik dikira??

Untuk mengira penyelesaian persamaan kuadratik, formula yang dikenali sebagai "resolver" digunakan, yang mengatakan bahawa penyelesaian persamaan persamaan ² + bx + c = 0 diberikan oleh ungkapan imej berikut:

Kuantiti yang muncul di dalam punca kuasa dipanggil diskriminasi persamaan kuadratik dan dilambangkan dengan huruf "d".

Persamaan kuadratik akan mempunyai:

-Dua penyelesaian sebenar jika, dan hanya jika, d> 0.

-Penyelesaian sebenar diulang jika, dan hanya jika, d = 0.

-Sifar penyelesaian sebenar (atau dua penyelesaian kompleks) jika, dan hanya jika, d<0.

Contoh:

-Penyelesaian persamaan x² + x-2 = 0 diberikan oleh:

-Persamaan x²-4x + 4 = 0 mempunyai penyelesaian berulang yang diberikan oleh:

-Penyelesaian persamaan x² + 1 = 0 diberikan oleh:

Seperti yang anda dapat lihat dalam contoh terakhir ini, x2 adalah konjugasi x1.

Rujukan

1. Sumber, A. (2016). MATEMATIK BASIC. Pengenalan Pengiraan. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematik: persamaan kuadratik: Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadratik. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matematik untuk pentadbiran dan ekonomi. Pendidikan Pearson.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Ambang.
5. Preciado, C. T. (2005). Kursus Matematik 3o. Progresial Editorial.
6. Rock, N. M. (2006). Aljabar Saya Mudah! Jadi Mudah. Pasukan Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra dan Trigonometri. Pendidikan Pearson.