Persamaan polinomial (dengan Latihan yang Dipecahkan)

The persamaan polinomial adalah pernyataan yang menimbulkan kesaksamaan dua ungkapan atau ahli, di mana sekurang-kurangnya salah satu istilah yang membentuk setiap sisi persamaan adalah polinomial P (x). Persamaan ini dinamakan mengikut tahap pemboleh ubahnya.

Secara umum, persamaan adalah pernyataan yang menetapkan kesamaan dua ungkapan, di mana sekurang-kurangnya salah satu daripada ini terdapat kuantiti tidak diketahui, yang disebut pembolehubah atau tidak diketahui. Walaupun terdapat banyak jenis persamaan, ia biasanya diklasifikasikan kepada dua jenis: algebraic dan transenden.

persamaan polinomial mengandungi hanya ungkapan algebra, yang mungkin mempunyai satu atau lebih pembolehubah yang terlibat dalam persamaan. Menurut eksponen (Ijazah) mereka telah boleh dikelaskan kepada ijazah pertama (linear), tahap kedua (kuadratik), tahap ketiga (padu), gred keempat (kuartik) ijazah lebih besar daripada atau sama dengan lima dan tidak rasional.

Indeks

• 1 Ciri-ciri
• 2 Jenis
  • 2.1 Gred pertama
  • 2.2 ijazah kedua
  • 2.3 Resolver
  • 2.4 gred tinggi
• 3 Latihan diselesaikan
  • 3.1 Latihan pertama
  • 3.2 Latihan kedua
• 4 Rujukan

Ciri-ciri

Persamaan polinomial adalah ungkapan yang dibentuk oleh persamaan antara dua polinomial; iaitu, dengan jumlah terhingga pendaraban antara nilai yang tidak diketahui (pembolehubah) dan nombor tetap (pekali), di mana pembolehubah boleh mempunyai eksponen, dan nilai mereka boleh menjadi integer positif, termasuk sifar.

Eksponen menentukan tahap atau jenis persamaan. Istilah ungkapan yang mempunyai nilai eksponen tertinggi akan mewakili tahap mutlak polinomial.

Persamaan polinomial juga dikenali sebagai persamaan algebra, pekali mereka boleh menjadi nombor yang nyata atau kompleks dan pembolehubah adalah nombor yang tidak diketahui yang diwakili oleh suatu huruf, seperti: "x".

Jika menggantikan nilai untuk pemboleh ubah "x" dalam P (x) hasilnya sama dengan sifar (0), maka dikatakan bahawa nilai ini memenuhi persamaan (ia adalah penyelesaian), dan secara amnya disebut akar polinomial.

Apabila persamaan polinomial dikembangkan, anda ingin mencari semua akar atau penyelesaian.

Jenis

Terdapat beberapa jenis persamaan polinom, yang dibezakan mengikut bilangan pembolehubah, dan juga mengikut tahap eksponen.

Oleh itu, persamaan polinomial, di mana penggal pertama adalah polinomial yang mempunyai satu pembolehubah, manakala ijazah boleh mana-mana nombor asli (n) dan penggal kedua adalah sifar, boleh dinyatakan seperti berikut:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Di mana:

- a_n, a_n-1 dan a₀, mereka adalah pekali sebenar (nombor).

- a_n ia berbeza daripada sifar.

- Eksponen n adalah integer positif yang mewakili tahap persamaan.

- x adalah pembolehubah atau tidak diketahui yang mesti dicari.

Ijazah mutlak atau lebih besar daripada persamaan polinomial adalah eksponen nilai yang lebih besar di antara semua yang membentuk polinomial; dengan cara itu, persamaan dikelaskan sebagai:

Gred pertama

persamaan polinomial ijazah pertama, juga dikenali sebagai persamaan linear, adalah mereka di mana tahap (eksponen terbesar) adalah sama dengan 1, polinomial adalah dalam bentuk P (x) = 0; dan ia terdiri daripada istilah linear dan satu bebas. Ia ditulis seperti berikut:

kapak + b = 0.

Di mana:

- a dan b adalah nombor nyata dan ≠ 0.

- kapak adalah istilah linier.

- b adalah istilah bebas.

Sebagai contoh, persamaan 13x - 18 = 4x.

Untuk menyelesaikan persamaan linear semua istilah yang mengandungi x yang tidak diketahui mesti diluluskan ke satu sisi persamaan, dan yang tidak mempunyai dipindahkan ke sisi lain, untuk menghapuskannya dan mendapatkan penyelesaian:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Dengan cara itu, persamaan diberikan mempunyai satu penyelesaian atau akar, iaitu x = 2.

Gred kedua

persamaan polinomial darjah kedua, juga dikenali sebagai persamaan kuadratik, adalah mereka di mana tahap (eksponen terbesar) adalah sama dengan 2, polinomial adalah dalam bentuk P (x) = 0, dan terdiri daripada satu istilah kuadratik satu linear dan satu bebas. Ia dinyatakan seperti berikut:

kapak² + bx + c = 0.

Di mana:

- a, b dan c adalah nombor nyata dan ≠ 0.

- kapak² adalah istilah kuadratik, dan "a" adalah pekali istilah kuadratik.

- bx adalah istilah linier, dan "b" adalah pekali istilah linier.

- c ialah istilah bebas.

Selesaikan

Secara umum, penyelesaian kepada persamaan jenis ini diberikan dengan membersihkan x dari persamaan, dan ia ditinggalkan seperti berikut, yang dipanggil resolver:

Di sana, (b² - 4ac) dipanggil diskriminasi persamaan dan ungkapan ini menentukan bilangan penyelesaian yang persamaannya boleh:

- Ya (b² - 4ac) = 0, persamaan akan mempunyai penyelesaian tunggal yang berganda; iaitu, anda akan mempunyai dua penyelesaian yang sama.

- Ya (b² - 4ac)> 0, persamaan akan mempunyai dua penyelesaian sebenar yang berbeza.

- Ya (b² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Sebagai contoh, anda mempunyai persamaan 4x² + 10x - 6 = 0, untuk menyelesaikannya, mula-mula mengenal pasti istilah a, b dan c, kemudian gantikannya dalam formula:

a = 4

b = 10

c = -6.

Terdapat kes di mana persamaan polinomial dari tahap kedua tidak mempunyai tiga syarat, dan itulah sebabnya ia diselesaikan secara berbeza:

- Dalam kes bahawa persamaan kuadrat tidak mempunyai istilah linear (iaitu, b = 0), persamaan akan dinyatakan sebagai kapak² + c = 0. Untuk menyelesaikannya, ia dibersihkan x² dan akar persegi digunakan dalam setiap ahli, dengan mengingati bahawa dua tanda yang mungkin yang tidak diketahui dapat dipertimbangkan:

kapak² + c = 0.

x² = - c a

Sebagai contoh, 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Apabila persamaan kuadratik tidak mempunyai istilah bebas (iaitu, c = 0), persamaan akan dinyatakan sebagai kapak² + bx = 0. Untuk menyelesaikannya, kita mesti mengekstrak faktor umum x tidak diketahui dalam ahli pertama; kerana persamaan sama dengan sifar, adalah benar bahawa sekurang-kurangnya satu faktor akan sama dengan 0:

kapak² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Dengan cara itu, anda perlu:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Sebagai contoh: anda mempunyai persamaan 5x² + 30x = 0. Faktor pertama:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Dua faktor dijana iaitu x dan (5x + 30). Adalah dianggap bahawa salah satu daripada ini akan sama dengan sifar dan penyelesaian lain akan diberikan:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

Ijazah utama

Persamaan polinomial yang lebih besar ialah tahap yang pergi dari ijazah ke tiga dan seterusnya, yang dapat diungkapkan atau diselesaikan dengan persamaan polinomial umum untuk mana-mana ijazah:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Ini digunakan kerana persamaan dengan darjah yang lebih besar daripada dua adalah hasil pemfaktoran polinomial; iaitu, ia dinyatakan sebagai pendaraban polinomial ijazah satu atau lebih, tetapi tanpa akar sebenar.

Penyelesaian jenis persamaan ini adalah langsung, kerana pendaraban dua faktor akan sama dengan sifar jika mana-mana faktor adalah null (0); oleh itu, setiap persamaan polinomial yang didapati mesti diselesaikan, sepadan dengan setiap faktornya menjadi sifar.

Sebagai contoh, anda mempunyai persamaan ijazah ketiga (padu) x³ + x² +4x + 4 = 0. Untuk menyelesaikannya, langkah-langkah berikut mesti diikuti:

- Terma-terma dikumpulkan:

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Anggota badan dipecahkan untuk mendapatkan faktor biasa yang tidak diketahui:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- Dengan cara ini, dua faktor diperoleh, yang mesti sama dengan sifar:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Ia dapat dilihat bahawa faktor (x² + 4) = 0 tidak akan mempunyai penyelesaian sebenar, sedangkan faktor (x + 1) = 0 ya. Oleh itu, penyelesaiannya ialah:

(x + 1) = 0

x = -1.

Latihan yang diselesaikan

Selesaikan persamaan berikut:

Latihan pertama

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

Penyelesaian

Dalam kes ini persamaan dinyatakan sebagai pendaraban polinomial; iaitu, ia difokuskan. Untuk menyelesaikannya, setiap faktor mestilah sama dengan sifar:

- 2x² + 5 = 0, tidak mempunyai penyelesaian.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Oleh itu, persamaan yang diberikan mempunyai dua penyelesaian: x = 3 dan x = -1.

Latihan kedua

x⁴ - 36 = 0.

Penyelesaian

Ia diberikan polinomial, yang boleh ditulis semula sebagai perbezaan petak untuk mencapai penyelesaian yang lebih cepat. Oleh itu, persamaan kekal:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Untuk mencari penyelesaian persamaan, kedua-dua faktor sama dengan sifar:

(x² + 6) = 0, tidak mempunyai penyelesaian.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

Oleh itu, persamaan awal mempunyai dua penyelesaian:

x = √6.

x = - √6.

Rujukan

1. Andres, T. (2010). Tresur Matematik Olympiad. Springer. New York.
2. Angel, A. R. (2007). Algebra asas Pendidikan Pearson,.
3. Baer, ​​R. (2012). Aljabar Linear dan Geometri Projekif. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: Budaya.
5. Castaño, H. F. (2005). Matematik sebelum pengiraan. Universiti Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Manual matematik untuk penyediaan Olimpik. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Algebra Superior I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Matematik 3.