Kaedah dan Contoh Faktor

The pemfaktoran adalah satu kaedah di mana polinomial dinyatakan dalam bentuk pendaraban faktor, yang boleh menjadi nombor, huruf atau kedua-duanya. Untuk memfaktorkan faktor-faktor yang biasa dengan istilah-istilah yang dikelompokkan, dan dengan cara ini polinomial dibusarkan menjadi beberapa polinomial.

Oleh itu, apabila faktor berganda antara satu sama lain hasilnya adalah polinomial asal. Pemfaktoran adalah kaedah yang sangat berguna apabila anda mempunyai ungkapan algebra, kerana ia boleh ditukar menjadi pendaraban beberapa istilah mudah; Sebagai contoh: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

Terdapat kes-kes di mana polinomial tidak boleh dipertimbangkan kerana tidak ada faktor umum antara termanya; oleh itu, ungkapan algebra ini hanya boleh dibahagikan antara mereka dan oleh 1. Sebagai contoh: x + y + z.

Dalam ungkapan algebra, faktor biasa adalah pembahagi umum istilah yang mengarangnya.

Indeks

• 1 Kaedah pemfaktoran
  • 1.1 Pemfaktoran oleh faktor biasa
  • 1.2 Contoh 1
  • 1.3 Contoh 2
  • 1.4 Pemfaktoran oleh kumpulan
  • 1.5 Contoh 1
  • 1.6 Penaksiran dengan pemeriksaan
  • 1.7 Contoh 1
  • 1.8 Contoh 2
  • 1.9 Pemalsuan dengan produk yang luar biasa
  • 1.10 Contoh 1
  • 1.11 Contoh 2
  • 1.12 Contoh 3
  • 1.13 Pemfaktoran dengan peraturan Ruffini
  • 1.14 Contoh 1
• 2 Rujukan

Kaedah pemfaktoran

Terdapat beberapa kaedah pemfaktoran, yang digunakan bergantung kepada kes itu. Ada yang berikut:

Pemfaktoran oleh faktor yang sama

Dalam kaedah ini, faktor-faktor yang biasa dikenal pasti; iaitu, mereka yang diulangi mengikut terma ungkapan. Kemudian harta pengedaran digunakan, pembahagi umum maksimum dikeluarkan dan pemfaktoran selesai.

Dalam erti kata lain, faktor umum ungkapan dikenal pasti dan setiap istilah dibahagikan di antaranya; Istilah yang dihasilkan akan didarab dengan faktor umum yang paling besar untuk menyatakan pengfaktorkan.

Contoh 1

Faktor (b²x) + (b²y).

Penyelesaian

Pertama, terdapat faktor umum setiap istilah, yang dalam kes ini adalah b², dan kemudian istilah dibahagikan kepada faktor yang sama seperti berikut:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Faktorisasi dinyatakan, mengalikan faktor umum dengan syarat yang dihasilkan:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

Contoh 2

Faktor (2a)²b³) + (3b²).

Penyelesaian

Dalam kes ini kita mempunyai dua faktor yang diulang dalam setiap istilah iaitu "a" dan "b", dan yang dinaikkan kepada kuasa. Untuk memaksanya, mula-mula kedua-dua istilah dipecahkan ke dalam bentuk panjangnya:

2_*a_*a_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Ia boleh diperhatikan bahawa faktor "a" diulang hanya sekali dalam tempoh kedua, dan faktor "b" diulang dua kali di dalamnya; jadi dalam istilah pertama terdapat hanya 2, faktor "a" dan "b"; manakala dalam jangka masa kedua hanya terdapat 3.

Oleh itu, kita menulis kali bahawa "a" dan "b" diulang dan didarab dengan faktor-faktor yang tersisa dari setiap istilah, seperti yang dilihat dalam imej:

Fakulti mengikut kumpulan

Seperti yang tidak dalam semua keadaan, pembahagi umum yang besar bagi polinomial jelas dinyatakan, adalah perlu untuk membuat langkah-langkah lain untuk dapat menulis semula polinomial dan dengan itu faktor.

Salah satu daripada langkah-langkah ini adalah untuk mengkomersikan istilah polinomial kepada beberapa kumpulan, dan kemudian menggunakan kaedah faktor umum.

Contoh 1

Faktor ak + bc + iklan + bd.

Penyelesaian

Terdapat 4 faktor di mana dua adalah perkara biasa: dalam istilah pertama ia adalah "c" dan pada kedua ia adalah "d". Dengan cara ini kedua-dua istilah dikelompokkan dan dipisahkan:

(ac + bc) + (iklan + bd).

Sekarang adalah mungkin untuk menggunakan kaedah faktor umum, membahagi setiap istilah dengan faktor yang sama dan kemudian mengalikan faktor yang sama dengan syarat yang terhasil, seperti ini:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Sekarang anda mendapat binomial yang biasa untuk kedua-dua istilah. Untuk faktor ia didarab dengan faktor-faktor lain; dengan cara itu anda perlu:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

Fakulti dengan pemeriksaan

Kaedah ini digunakan untuk faktor polinomial kuadratik, juga dipanggil trinomial; iaitu, yang berstruktur sebagai kapak² ± bx + c, di mana nilai "a" adalah berbeza daripada 1. Kaedah ini juga digunakan apabila trinomial mempunyai bentuk x² ± bx + c dan nilai "a" = 1.

Contoh 1

Faktor x² + 5x + 6.

Penyelesaian

Anda mempunyai trinomial kuadrat dalam bentuk x² ± bx + c. Untuk faktor pertama, anda perlu mencari dua nombor yang, apabila didarabkan, berikan nilai "c" (iaitu, 6) dan jumlahnya adalah sama dengan pekali "b", iaitu 5. Bilangan tersebut adalah 2 dan 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Dengan cara ini, ungkapan itu mudah seperti ini:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Setiap istilah dipertimbangkan:

- Untuk (x² + 2x) istilah umum diekstrak: x (x + 2)

- Untuk (3x + 6) = 3 (x + 2)

Oleh itu, ungkapan itu tetap:

x (x + 2) + 3 (x +2).

Memandangkan anda mempunyai binomial yang sama, untuk mengurangkan ungkapan itu, andaikan dengan lebihan istilah dan anda perlu:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Contoh 2

Faktor 4a² + 12a + 9 = 0.

Penyelesaian

Anda mempunyai trinomial kuadrat bentuk kapak² ± bx + c dan faktornya semua ungkapan didarabkan dengan pekali x²; dalam kes ini, 4.

4a² + 12a +9 = 0

4a² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² a² + 12a (4) + 36 = 0

Sekarang kita perlu mencari dua nombor yang apabila didarabkan bersama, berikan hasil "c" (iaitu 36) dan apabila ditambah bersama-sama menghasilkan pekali istilah "a", iaitu 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Dengan cara ini ungkapan itu ditulis semula, dengan mengambil kira itu² a² = 4a _* 4a. Oleh itu, harta pengedaran digunakan bagi setiap istilah:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Akhirnya, ungkapan dibahagikan dengan pekali²; iaitu, 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Ungkapan ini adalah seperti berikut:

4a² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Pemfaktoran dengan produk yang luar biasa

Terdapat kes di mana, untuk sepenuhnya faktor polinomial dengan kaedah sebelumnya, ia menjadi proses yang sangat panjang.

Itulah sebabnya ungkapan boleh dibangunkan dengan formula produk yang luar biasa dan dengan itu proses menjadi lebih mudah. Antara produk yang terkenal ialah:

- Perbezaan dua kuasa dua: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Kuadrat sempurna jumlah: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Kuadrat yang sempurna perbezaan: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Perbezaan dua kiub: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- Jumlah dua kiub: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

Contoh 1

Faktor (5² - x²)

Penyelesaian

Dalam kes ini terdapat perbezaan dua kuasa dua; oleh itu, formula produk yang luar biasa digunakan:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Contoh 2

Faktor 16x² + 40x + 25²

Penyelesaian

Dalam kes ini, kita mempunyai persegi sempurna jumlah, kerana kita boleh mengenal pasti dua segi kuasa dua, dan baki sebutan adalah hasil mengalikan dua dengan akar kuadrat istilah pertama, dengan akar kuadrat kedua istilah.

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Untuk faktor, hanya akar segi empat yang pertama dan ketiga dikira:

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

Maka kedua-dua istilah yang dihasilkan dipisahkan oleh tanda operasi, dan keseluruhan polinomial dikondensasikan:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Contoh 3

Faktor 27a³ - b³

Penyelesaian

Ungkapan mewakili penolakan di mana dua faktor dinaikkan kepada kiub. Untuk memaksa mereka, formula produk utama perbezaan kubus digunakan, iaitu:

a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Oleh itu, untuk memaksimumkan, akar kubik setiap istilah binomial diekstrak dan didarabkan dengan kuadrat bagi tempoh pertama, ditambah dengan produk yang pertama dengan istilah kedua, ditambah dengan istilah kedua oleh segi empat.

27a³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27a³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27a³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Pemfaktoran dengan peraturan Ruffini

Kaedah ini digunakan apabila anda mempunyai polinomial ijazah yang lebih besar daripada dua, untuk memudahkan ungkapan kepada beberapa polinomial yang lebih rendah darjah.

Contoh 1

Faktor x (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

Penyelesaian

Cari dahulu nombor-nombor yang menjadi pembahagi 12, yang merupakan istilah bebas; ini adalah ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 dan ± 12.

Kemudian x digantikan oleh nilai-nilai ini, dari terendah hingga tertinggi, dan oleh itu ditentukan dengan mana dari nilai pembahagian akan tepat; iaitu, selebihnya mesti 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

Dan sebagainya untuk setiap pembahagi. Dalam kes ini, faktor yang dijumpai adalah untuk x = -1 dan x = 2.

Sekarang kaedah Ruffini digunakan, mengikut mana koefisien ekspresi akan dibahagikan di antara faktor yang dijumpai untuk pembahagian menjadi tepat. Istilah polinomial diarahkan dari eksponen tertinggi hingga terendah; dalam hal bahawa istilah dengan ijazah yang mengikuti urutan itu hilang, 0 diletakkan di tempatnya.

Koefisien terletak dalam skema seperti yang dilihat dalam imej berikut.

Pekali pertama diturunkan dan didarabkan oleh pembahagi. Dalam kes ini, pembahagi pertama adalah -1, dan hasilnya diletakkan di lajur seterusnya. Kemudian nilai pekali ditambah secara menegak dengan hasil yang telah diperoleh dan hasilnya diletakkan di bawah. Dengan itu proses itu diulangi sehingga ruang terakhir.

Kemudian prosedur yang sama diulang lagi, tetapi dengan pembahagi kedua (yang 2) kerana ungkapan itu masih dapat dipermudah.

Oleh itu, bagi setiap akar yang diperolehi, polinomial mempunyai istilah (x - a), di mana "a" adalah nilai akar:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Sebaliknya, istilah ini mesti digandakan oleh baki peraturan Ruffini 1: 1 dan -6, yang merupakan faktor yang mewakili gred. Dengan cara ini ungkapan yang terbentuk ialah: (x² + x - 6).

Mendapatkan hasil faktorisasi polinomial dengan kaedah Ruffini ialah:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Untuk menyelesaikan, polinomial ijazah 2 yang muncul dalam ungkapan terdahulu boleh ditulis semula sebagai (x + 3) (x-2). Oleh itu, pemfaktoran akhir ialah:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(x-2).

Rujukan

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
2. J, V. (2014). Cara Mengajar Kanak-kanak Mengenai Pemfaktoran terhadap Polinomial.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Matematik Asas Dengan Aplikasi.
4. Roelse, P. L. (1997). Kaedah garis lurus untuk penaksiran polinomial ke atas bidang terhingga: teori dan pelaksanaan. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Cincin dan faktor.