Prinsip Berbantukan Mengira Teknik dan Contoh



The prinsip pendaraban adalah teknik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah mengira untuk mencari penyelesaian tanpa perlu untuk menyenaraikan elemennya. Ia juga dikenali sebagai prinsip asas analisis combinatorial; berdasarkan pendaraban berturut-turut untuk menentukan bagaimana kejadian boleh berlaku.

Prinsip ini menetapkan bahawa, jika keputusan (d1) boleh diambil dengan cara dan keputusan lain (d2) boleh diambil dengan cara, jumlah bilangan cara membuat keputusan1 dan d2 akan sama dengan berganda n * m. Menurut prinsip, setiap keputusan dibuat satu demi satu: bilangan cara = N1 * N2... * Nx cara.

Indeks

  • 1 Contoh
    • 1.1 Contoh 1
    • 1.2 Contoh 2
  • 2 Teknik pengiraan
    • 2.1 Prinsip tambahan
    • 2.2 Prinsip permutasi
    • 2.3 Prinsip gabungan
  • 3 Latihan diselesaikan
    • 3.1 Latihan 1
    • 3.2 Latihan 2
  • 4 Rujukan

Contohnya

Contoh 1

Paula merancang untuk pergi ke filem dengan kawan-kawannya, dan memilih pakaian yang akan dipakai, saya memisahkan 3 blaus dan 2 rok. Berapa banyak cara yang boleh dipakai Paula??

Penyelesaian

Dalam kes ini, Paula mesti membuat dua keputusan:

d1 = Pilih antara 3 blaus = n

d2 = Pilih antara 2 skirt = m

Dengan cara itu Paula mempunyai n * m keputusan untuk membuat atau cara berlainan.

n * m = 3* 2 = 6 keputusan.

Prinsip berganda berasal dari teknik gambarajah pokok, yang merupakan gambarajah yang menghubungkan semua hasil yang mungkin, supaya setiap dapat terjadi beberapa kali terhingga.

Contoh 2

Mario sangat dahaga, jadi dia pergi ke kedai roti untuk membeli jus. Luis menjawabnya dan memberitahu bahawa dia mempunyai dua saiz: besar dan kecil; dan empat perisa: epal, oren, limau dan anggur. Berapa banyak cara Mario boleh memilih jus itu?

Penyelesaian

Diagram rajah itu dapat diperhatikan bahwa Mario mempunyai 8 cara yang berbeda untuk memilih jus dan itu, seperti dalam prinsip multiplikatif, hasil ini diperoleh dengan pendaraban n*m. Satu-satunya perbezaan ialah melalui rajah ini, anda boleh mengetahui bagaimana cara-cara di mana Mario memilih jus itu.

Sebaliknya, apabila bilangan hasil yang mungkin sangat besar, lebih praktikal untuk menggunakan prinsip berbilang.

Mengira teknik

Teknik pengiraan adalah kaedah yang digunakan untuk membuat kiraan langsung, dan dengan itu mengetahui bilangan aturan yang mungkin bahawa unsur-unsur set yang diberikan boleh dimiliki. Teknik-teknik ini berdasarkan beberapa prinsip:

Prinsip tambahan

Prinsip ini menyatakan bahawa, jika dua peristiwa m dan n tidak dapat berlaku pada masa yang sama, bilangan cara di mana peristiwa pertama atau kedua dapat terjadi adalah jumlah m + n:

Bilangan borang = m + n ... + x bentuk yang berbeza.

Contoh

Antonio mahu mengambil perjalanan tetapi tidak menentukan destinasi mana; di Agensi Pelancongan Selatan mereka menawarkan promosi untuk perjalanan ke New York atau Las Vegas, manakala Agensi Pelancongan Timur mengesyorkan anda pergi ke Perancis, Itali atau Sepanyol. Berapa banyak alternatif perjalanan yang berbeza yang ditawarkan oleh Antonio?

Penyelesaian

Dengan Agensi Pelancongan Selatan, Antonio mempunyai 2 alternatif (New York atau Las Vegas), sementara dengan Agensi Pelancongan Timur mempunyai 3 pilihan (Perancis, Itali atau Spanyol). Bilangan alternatif yang berbeza ialah:

Bilangan alternatif = m + n = 2 + 3 = 5 alternatif.

Prinsip permutasi

Ini adalah mengenai pesanan secara khusus semua atau beberapa elemen yang membentuk satu set, untuk memudahkan pengiraan semua pengaturan yang mungkin dibuat dengan unsur-unsur.

Bilangan permutasi unsur-unsur yang berbeza, diambil sekaligus, diwakili sebagai:

nPn = n!

Contoh

Empat rakan mahu mengambil gambar dan ingin tahu berapa banyak bentuk yang berbeza boleh dipesan.

Penyelesaian

Anda ingin mengetahui set semua cara yang mungkin di mana 4 orang boleh diletakkan untuk mengambil gambar. Oleh itu, anda perlu:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 cara yang berbeza.

Sekiranya bilangan permutasi unsur yang terdapat dalam n diambil oleh bahagian-bahagian set yang dibentuk oleh unsur-unsur r, ia diwakili sebagai:

nPr = n! ÷ (n - r)!

Contoh

Di bilik darjah terdapat 10 jawatan. Sekiranya 4 pelajar menghadiri kelas, berapa banyak cara yang boleh diambil oleh pelajar untuk menduduki jawatan?

Penyelesaian

Jumlah bilangan kerusi adalah 10, dan hanya 4 ini akan digunakan. Rumus yang diberikan digunakan untuk menentukan bilangan permutasi:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 cara untuk mengisi jawatan.

Terdapat kes-kes di mana beberapa elemen yang ada dalam satu set diulang (mereka adalah sama). Untuk mengira bilangan perkiraan yang mengambil semua unsur sekaligus, formula berikut digunakan:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

Contoh

Berapa banyak perkataan yang berbeza dari empat huruf dapat dibentuk dari kata "serigala"?

Penyelesaian

Dalam kes ini kita mempunyai 4 elemen (huruf) yang mana dua daripadanya adalah sama. Memohon formula yang diberikan, kita tahu berapa banyak perkataan yang berbeza:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 kata yang berbeza.

Prinsip gabungan

Ini adalah mengenai penetapan semua atau beberapa unsur yang membentuk satu set tanpa perintah tertentu. Sebagai contoh, jika anda mempunyai array XYZ, ia akan sama dengan ZXY, YZX, array ZYX, antara lain; ini kerana, walaupun tidak berada dalam susunan yang sama, unsur-unsur setiap susunan adalah sama.

Apabila beberapa unsur (r) dari set (n) diambil, prinsip kombinasi diberikan oleh formula berikut:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

Contoh

Di kedai mereka menjual 5 jenis coklat yang berbeza. Berapa banyak cara yang berbeza untuk anda memilih 4 coklat?

Penyelesaian

Dalam kes ini anda perlu memilih 4 coklat dari 5 jenis yang dijual di kedai. Urutan di mana mereka dipilih tidak penting dan, sebagai tambahan, sejenis coklat boleh dipilih lebih daripada dua kali. Memohon formula, anda perlu:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)! 4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 cara yang berbeza untuk memilih 4 coklat.

Apabila semua unsur (r) dari set (n) diambil, prinsip gabungan diberikan oleh formula berikut:

nCn = n!

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Anda mempunyai pasukan besbol dengan 14 ahli. Dalam berapa banyak cara anda boleh menetapkan 5 kedudukan untuk permainan?

Penyelesaian

Set terdiri daripada 14 elemen dan anda ingin menetapkan 5 kedudukan tertentu; iaitu pesanan itu penting. Formula permutasi digunakan di mana unsur-unsur yang tersedia didapati oleh bahagian-bahagian set yang dibentuk oleh r.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Di mana n = 14 dan r = 5. Ia digantikan dalam formula:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 cara untuk menetapkan kedudukan permainan 9.

Latihan 2

Jika keluarga 9 orang pergi dalam perjalanan dan membeli tiket mereka dengan kerusi berturut-turut, berapa cara yang berbeza untuk mereka duduk?

Penyelesaian

Ia adalah kira-kira 9 elemen yang akan menduduki 9 kerusi berturut-turut.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 cara yang berbeza untuk duduk.

Rujukan

  1. Hopkins, B. (2009). Sumber untuk Pengajaran Matematik Diskret: Projek Kelas, Modul Sejarah, dan Artikel.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Matematik Diskret Pendidikan Pearson,.
  3. Lutfiyya, L. A. (2012). Solver Problem Math Matter dan Diskret. Penyelidik Persatuan Penyelidikan & Pendidikan.
  4. Padró, F. C. (2001). Matematik Diskret Politèc. daripada Catalunya.
  5. Steiner, E. (2005). Matematik untuk sains gunaan. Reverte.