Apakah Sempadan Trigonometri? (dengan Latihan yang telah diselesaikan)

The had trigonometri ia adalah had fungsi supaya fungsi ini dibentuk oleh fungsi trigonometri.

Terdapat dua definisi yang mesti diketahui untuk memahami bagaimana perhitungan had trigonometri dilakukan.

Takrifan ini adalah:

- Had dari fungsi "f" apabila "x" cenderung kepada "b": ia terdiri daripada mengira nilai yang mana pendekatan f (x) sebagai pendekatan "x".

- Fungsi trigonometrik: fungsi trigonometri adalah fungsi sinus, kosinus dan tangen, yang dilambangkan oleh sin (x), cos (x) dan tan (x) masing-masing.

Fungsi trigonometri yang lain diperoleh daripada tiga fungsi yang dinyatakan di atas.

Had fungsi

Untuk memperjelaskan konsep had fungsi akan terus menunjukkan beberapa contoh dengan fungsi mudah.

- Had f (x) = 3 apabila "x" cenderung kepada "8" adalah sama dengan "3", kerana fungsi sentiasa malar. Tidak kira berapa nilai "x" bernilai, nilai f (x) akan sentiasa "3".

- Had f (x) = x-2 apabila "x" cenderung kepada "6" ialah "4". Oleh kerana apabila "x" mendekati "6" maka "x-2" mendekati "6-2 = 4".

- Had dari g (x) = x² apabila "x" cenderung kepada "3" adalah sama dengan 9, kerana apabila "x" menghampiri "3" maka "x²".

Seperti yang dapat dilihat dalam contoh terdahulu, pengiraan had terdiri daripada menilai nilai yang "x" cenderung dalam fungsi, dan hasilnya adalah nilai had, walaupun ini hanya benar untuk fungsi yang berterusan.

Adakah terdapat had yang lebih rumit?

Jawapannya adalah ya. Contoh-contoh di atas adalah contoh-contoh had yang paling mudah. Dalam buku-buku perhitungan, latihan batasan utama adalah mereka yang menjana taksiran jenis 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 dan (∞) ^ 0.

Ungkapan ini dipanggil tidak pasti kerana ia adalah ungkapan yang secara matematik tidak masuk akal.

Di samping itu, bergantung kepada fungsi yang terlibat dalam had asal, hasil yang diperoleh dalam menyelesaikan ketidaktentuan mungkin berbeza dalam setiap kes.

Contoh-contoh had trigonometri mudah

Untuk menyelesaikan had, sentiasa berguna untuk mengetahui graf fungsi yang terlibat. Berikut adalah graf fungsi sinus, kosinus dan tangen.

Beberapa contoh had trigonometri mudah ialah:

- Kirakan had dosa (x) apabila "x" cenderung kepada "0".

Apabila melihat graf, anda dapat melihat bahawa jika "x" menghampiri "0" (kedua-duanya di sebelah kiri dan di sebelah kanan), maka graf sinus juga menghampiri "0". Oleh itu, batas sin (x) apabila "x" cenderung kepada "0" ialah "0".

- Kirakan had cos (x) apabila "x" cenderung kepada "0".

Mematuhi graf kosinus, dapat dilihat bahawa apabila "x" adalah hampir dengan "0" maka graf kosinus adalah dekat dengan "1". Ini menunjukkan bahawa had cos (x) apabila "x" cenderung kepada "0" adalah sama dengan "1".

Had mungkin wujud (menjadi nombor), seperti dalam contoh terdahulu, tetapi ia juga boleh berlaku bahawa ia tidak wujud seperti yang ditunjukkan dalam contoh berikut.

- Had tan (x) apabila "x" cenderung kepada "Π / 2" di sebelah kiri adalah sama dengan "+ ∞", seperti yang dapat dilihat dalam graf. Sebaliknya, had tan (x) apabila "x" cenderung kepada "-Puat / 2" di sebelah kanan bersamaan dengan "-∞".

Identiti sempadan Trigonometri

Dua identiti yang sangat berguna apabila mengira had trigonometri ialah:

- Had "sin (x) / x" apabila "x" cenderung kepada "0" adalah sama dengan "1".

- Had "(1-cos (x)) / x" apabila "x" cenderung kepada "0" sama dengan "0".

Identiti ini sering digunakan apabila anda mempunyai beberapa jenis ketidaktentuan.

Latihan yang diselesaikan

Selesaikan had berikut menggunakan identiti yang diterangkan di atas.

- Kirakan had "f (x) = sin (3x) / x" apabila "x" cenderung kepada "0".

Sekiranya fungsi "f" dinilai dalam "0", indikator jenis 0/0 akan diperolehi. Oleh itu, kita mesti cuba menyelesaikan ketidakpastian ini menggunakan identiti yang diterangkan.

Satu-satunya perbezaan antara had dan identiti ini ialah nombor 3 yang muncul dalam fungsi sinus. Untuk menggunakan identiti, fungsi "f (x)" mesti ditulis semula dengan cara berikut "3 * (sin (3x) / 3x)". Sekarang, kedua-dua hujah sinus dan penyebutnya sama.

Jadi apabila "x" cenderung kepada "0", menggunakan hasil identiti dalam "3 * 1 = 3". Oleh itu, had f (x) apabila "x" cenderung kepada "0" sama dengan "3".

- Kirakan had "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" apabila "x" cenderung kepada "0".

Apabila "x = 0" digantikan dalam g (x), suatu taksiran jenis ∞-∞ diperolehi. Untuk menyelesaikannya, pecahan dikurangkan, yang menghasilkan keputusan "(1-cos (x)) / x".

Sekarang, apabila menggunakan identiti trigonometri kedua, kita mempunyai had g (x) apabila "x" cenderung "0" adalah sama dengan 0.

- Kirakan had "h (x) = 4tan (5x) / 5x" apabila "x" cenderung kepada "0".

Sekali lagi, jika anda menilai h (x) hingga "0", anda akan mendapat takrifan jenis 0/0.

Menulis semula tan (5x) sebagai hasil sin (5x) / cos (5x) yang h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x).

Dengan menggunakan had 4 / cos (x) apabila "x" cenderung kepada "0" bersamaan dengan "4/1 = 4" dan identiti trigonometri pertama diperolehi bahawa had h (x) apabila "x" sebuah "0" sama dengan "1 * 4 = 4".

Pemerhatian

Had trigonometrik tidak selalu mudah untuk diselesaikan. Dalam artikel ini hanya contoh asas yang ditunjukkan.

Rujukan

1. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Matematik Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Matematik Precalculus: pendekatan penyelesaian masalah (2, Illustrated ed.). Michigan: Dewan Prentice.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Pembelajaran Cengage.
5. Leal, J. M., & Viloria, N. G. (2005). Geometri Analitik Rata. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pendidikan Pearson.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Pengiraan (Kesembilan ed.). Dewan Prentice.
8. Saenz, J. (2005). Kalkulus berbeza dengan fungsi transendental awal untuk Sains dan Kejuruteraan (Edisi Kedua ed.). Hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Bidang Geometri Kapal Cartesian, Bahagian: Conics Analytical (1907) (cetakan semula ed.). Sumber Kilat.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pendidikan Pearson.