Teknik, aplikasi dan contoh pengiraan teknik



The teknik mengira adalah satu siri kaedah kebarangkalian untuk mengira bilangan kemungkinan perkiraan dalam set atau beberapa set objek. Ini digunakan apabila membuat akaun secara manual menjadi rumit kerana banyak objek dan / atau pembolehubah.

Sebagai contoh, penyelesaian untuk masalah ini sangat mudah: bayangkan bos anda meminta anda mengira produk terakhir yang telah tiba pada jam terakhir. Dalam kes ini anda boleh pergi dan mengira produk satu demi satu.

Walau bagaimanapun, bayangkan masalahnya ialah: bos anda meminta anda mengira berapa banyak kumpulan 5 jenis produk yang sama boleh dibentuk dengan mereka yang telah tiba pada jam terakhir. Dalam kes ini, pengiraan menjadi rumit. Teknik pengiraan yang digunakan digunakan untuk jenis keadaan ini.  

Teknik-teknik ini adalah beberapa, tetapi yang paling penting dibahagikan kepada dua prinsip asas, iaitu multiplikatif dan aditif; permutasi dan kombinasi.

Indeks

  • 1 prinsip pendaraban
    • 1.1 Aplikasi
    • 1.2 Contoh
  • 2 prinsip tambahan 
    • 2.1 Permohonan
    • 2.2 Contoh
  • 3 Permutations
    • 3.1 Aplikasi
    • 3.2 Contoh
  • 4 Gabungan
    • 4.1 Aplikasi
    • 4.2 Contoh
  • 5 Rujukan 

Prinsip multiplikatif

Permohonan

Prinsip multiplikatif, bersama-sama dengan aditif, adalah asas untuk memahami operasi teknik mengira. Dalam kes pendaraban, ia terdiri daripada yang berikut:

Bayangkan suatu aktiviti yang melibatkan beberapa langkah tertentu (jumlah ditandakan sebagai "r"), di mana langkah pertama boleh dibuat dari bentuk N1, langkah kedua N2, dan langkah "r" borang Nr. Dalam kes ini, aktiviti boleh dilakukan dari bilangan borang yang terhasil daripada operasi ini: N1 x N2 x ... .x Nr forms

Itulah sebabnya prinsip ini dipanggil berbilang, dan membayangkan bahawa setiap langkah yang diperlukan untuk menjalankan aktiviti mesti dilakukan satu demi satu. 

Contoh

Mari bayangkan seseorang yang mahu membina sebuah sekolah. Untuk melakukan ini, pertimbangkan bahawa asas bangunan boleh dibina dalam dua cara, simen atau konkrit. Bagi dinding, mereka boleh dibuat dari adobe, simen atau batu bata.

Bagi bumbung, ia boleh dibina daripada simen atau lembaran tergalvani. Akhirnya, lukisan akhir hanya boleh dilakukan dalam satu cara. Persoalan yang timbul adalah berikut: Berapa banyak cara yang perlu dibina oleh sekolah??

Pertama, kita akan mempertimbangkan bilangan langkah yang akan menjadi asas, dinding, bumbung dan lukisan. Secara keseluruhan, 4 langkah, jadi r = 4.

Berikut adalah senarai N:

N1 = cara untuk membina asas = 2

N2 = cara untuk membina dinding = 3

N3 = cara untuk membuat bumbung = 2

N4 = cara untuk membuat cat = 1

Oleh itu, bilangan bentuk yang mungkin akan dikira dengan formula yang diterangkan di atas:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 cara menyelesaikan sekolah.

Prinsip tambahan

Permohonan

Prinsip ini sangat mudah, dan, dalam hal terdapat beberapa alternatif yang ada untuk melakukan aktiviti yang sama, cara yang mungkin terdiri daripada jumlah cara yang berbeza untuk membuat semua alternatif.

Dalam erti kata lain, jika kita ingin menjalankan aktiviti dengan tiga alternatif, di mana alternatif pertama boleh dilakukan dalam bentuk M, yang kedua dalam bentuk N dan yang terakhir dalam bentuk W, aktiviti dapat dibuat dari: M + N + ... + W bentuk.

Contoh

Bayangkan kali ini seseorang yang ingin membeli raket tenis. Untuk ini, ia mempunyai tiga jenama untuk dipilih: Wilson, Babolat atau Ketua.

Apabila dia pergi ke kedai dia melihat raket Wilson boleh dibeli dengan pemegang dua saiz yang berbeza, L2 atau L3 dalam empat model yang berbeza dan boleh digantung atau tanpa tali.

Raket Babolat, sebaliknya, mempunyai tiga pegangan (L1, L2 dan L3), terdapat dua model yang berbeza dan ia juga boleh digantung atau tanpa tali.

Rakaman kepala, sebaliknya, hanya dengan satu pemegang, L2, dalam dua model yang berbeza dan hanya tanpa tali. Persoalannya ialah: Berapa banyak cara orang ini membeli raketnya??

M = Bilangan cara untuk memilih raket Wilson

N = Bilangan cara untuk memilih raket Babolat

W = Bilangan cara untuk memilih Raket Ketua

Kami membuat prinsip multiplier:

M = 2 x 4 x 2 = 16 bentuk

N = 3 x 2 x 2 = 12 bentuk

W = 1 x 2 x 1 = 2 bentuk

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 cara untuk memilih raket.

Untuk mengetahui kapan menggunakan prinsip berbilang dan aditif, anda hanya perlu melihat sama ada aktiviti itu mempunyai beberapa langkah yang perlu dilakukan, dan jika terdapat beberapa alternatif, aditif.

Permutations

Permohonan

Untuk memahami apa permutasi, adalah penting untuk menjelaskan apa kombinasi adalah untuk membezakannya dan mengetahui kapan menggunakannya.

Gabungan akan menjadi susunan unsur-unsur di mana kita tidak berminat dalam kedudukan yang masing-masing menduduki.

Satu permutasi, sebaliknya, akan menjadi susunan unsur-unsur di mana kita tertarik pada kedudukan yang masing-masing menduduki.

Berikan contoh untuk lebih memahami perbezaannya.

Contoh

Bayangkan kelas dengan 35 pelajar, dan dengan situasi berikut:

  1. Guru itu mahu tiga pelajarnya membantunya untuk menjaga kelas yang bersih atau menyampaikan bahan kepada pelajar lain apabila dia memerlukannya.
  2. Guru mahu melantik perwakilan kelas (presiden, pembantu dan pembiaya).

Penyelesaiannya adalah seperti berikut:

  1. Bayangkan dengan mengundi Juan, María dan Lucía dipilih untuk membersihkan kelas atau menyampaikan bahan. Jelas, kumpulan tiga orang lain boleh dibentuk, di kalangan 35 pelajar yang mungkin.

Kita mesti bertanya kepada diri sendiri seperti yang berikut: apakah penting perintah atau kedudukan yang setiap pelajar menduduki pada masa memilihnya??

Sekiranya kita memikirkannya, kita melihat bahawa ia benar-benar tidak penting, kerana kumpulan itu akan menjaga kedua-dua tugas sama. Dalam kes ini, ia adalah gabungan, kerana kita tidak berminat dalam kedudukan unsur-unsur.

  1. Sekarang bayangkan John dipilih sebagai presiden, Maria sebagai pembantu dan Lucia sebagai kewangan.

Dalam kes ini, adakah perkara itu? Jawapannya adalah ya, kerana jika kita menukar elemen, hasilnya berubah. Iaitu, jika bukannya meletakkan Juan sebagai presiden, kita meletakkannya sebagai pembantu, dan Maria sebagai presiden, keputusan akhir akan berubah. Dalam kes ini ia adalah permutasi.

Sebaik sahaja perbezaan difahami, kami akan memperoleh formula permutasi dan kombinasi. Walau bagaimanapun, pertama kita mesti menentukan istilah "n!" (Dalam faktorial), kerana ia akan digunakan dalam formula yang berbeza.

n! = kepada produk dari 1 hingga n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Menggunakannya dengan nombor sebenar:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Formula permutasi adalah seperti berikut:

nPr = n! / (n-r)!

Dengan itu kita dapat mengetahui pengaturan di mana pesanan itu penting, dan di mana unsur n berbeza.

Gabungan

Permohonan

Seperti yang telah kita katakan sebelum ini, gabungan itu adalah susunan yang kita tidak peduli dengan kedudukan unsur-unsur.

Rumusannya adalah seperti berikut:

nCr = n! / (n-r)! r!

Contoh

Sekiranya terdapat 14 orang pelajar yang ingin menjadi sukarelawan membersihkan bilik darjah, berapa kumpulan pembersihan yang dapat dibentuk oleh kumpulan masing-masing sebanyak 5 orang??

Oleh itu, penyelesaiannya adalah berikut:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 kumpulan

Rujukan

  1. Jeffrey, R.C., Kebarangkalian dan Seni Penghakiman, Cambridge University Press. (1992).
  2. William Feller, "Pengenalan kepada Probabiliti Teori dan Aplikasinya", (Vol 1), Ed 3, (1968), Wiley
  3. Finetti, Bruno de (1970). "Asas logik dan pengukuran kebarangkalian subjektif". Akta Psikologi.
  4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Pengenalan kepada Statistik Matematik (Ed ed.). Sungai pelana atas: Pearson.
  5. Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: Bukti dan Kemungkinan Sebelum Pascal,Johns Hopkins University Press.