Pengiraan Penghampiran Menggunakan Pembezaan

Penghampiran dalam matematik adalah nombor yang bukan nilai tepat sesuatu, tetapi sangat dekat dengannya yang dianggap berguna sebagai nilai yang tepat.

Apabila perkiraan dibuat dalam matematik, ia adalah kerana secara manual ia adalah sukar (atau kadang-kadang mustahil) untuk mengetahui nilai yang tepat dari apa yang dikehendaki.

Alat utama ketika bekerja dengan perkiraan adalah pembezaan fungsi.

Fungsi pengkamiran f, diwakili oleh Af (x), adalah semata-mata terbitan fungsi didarabkan dengan perubahan dalam pembolehubah bebas, iaitu, Af (x) = f '(x) * Dx.

Kadang-kadang df dan dx digunakan bukannya Δf dan Δx.

Pendekatan menggunakan perbezaan

Formula yang digunakan untuk membuat perkiraan melalui pembezaan timbul dengan tepat dari takrif derivatif fungsi sebagai had.

Rumusan ini diberikan oleh:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Di sini difahami bahawa Δx = x-x0, oleh itu, x = x0 + Δx. Menggunakan formula ini boleh ditulis semula sebagai

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Perlu diingat bahawa "x0" bukan nilai sewenang-wenangnya, tetapi adalah nilai sedemikian rupa sehingga f (x0) mudah diketahui; Di samping itu, "f (x)" hanya nilai yang kita mahu anggaran.

Adakah terdapat anggaran yang lebih baik??

Jawapannya adalah ya. Yang terdahulu adalah yang paling mudah daripada perkiraan yang dipanggil "penghampiran linear".

Untuk menghampiri kualiti yang lebih baik (ralat yang dibuat adalah kurang) polinomial digunakan lebih diperolehi dipanggil "polinomial Taylor", dan terdapat juga kaedah berangka yang lain seperti kaedah Newton-Raphson termasuk.

Strategi

Strategi yang perlu diambil adalah:

- Pilih fungsi yang sesuai f untuk melakukan penghampiran dan nilai "x" supaya f (x) adalah nilai yang anda mahu anggaran.

- Pilih nilai "x0", dekat dengan "x", supaya f (x0) mudah dikira.

- Kirakan Δx = x-x0.

- Hitung derivatif fungsi dan f '(x0).

- Gantikan data dalam formula.

Latihan anggaran yang diselesaikan

Dalam apa yang berterusan terdapat satu siri latihan di mana anggaran dibuat menggunakan perbezaan.

Latihan pertama

Anggaran √3.

Penyelesaian

Mengikuti strategi, fungsi yang sesuai mesti dipilih. Dalam kes ini dapat dilihat bahawa fungsi untuk memilih mestilah f (x) = √x dan nilai anggaran ialah f (3) = √3.

Sekarang kita mesti memilih nilai "x0" dekat dengan "3" supaya f (x0) mudah dikira. Jika "x0 = 2" dipilih ia mesti "x0" adalah berhampiran dengan "3" tetapi f (x0) = f (2) = √2 tidak mudah untuk mengira.

Nilai "x0" yang mudah ialah "4", kerana "4" adalah hampir dengan "3" dan juga f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Jika "x = 3" dan "x0 = 4", maka Δx = 3-4 = -1. Sekarang kita meneruskan untuk mengira derivatif f. Itulah, f '(x) = 1/2 * √x, supaya f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Menggantikan semua nilai dalam formula yang anda dapat:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Sekiranya kalkulator digunakan, diperolehi bahawa √3≈1.73205 ... Ini menunjukkan bahawa hasil sebelumnya adalah anggaran yang baik dari nilai sebenar.

Latihan kedua

Anggaran √10.

Penyelesaian

Seperti sebelum ini ia dipilih sebagai fungsi f (x) = √x dan dalam kes ini x = 10.

Nilai x0 yang mesti dipilih dalam peluang ini ialah "x0 = 9". Kami kemudiannya mempunyai Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 dan f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Apabila menilai dalam formula yang anda dapatkan itu

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Menggunakan kalkulator yang anda dapati itu √10 ≈ 3.1622776 ... Di sini anda juga dapat melihat bahawa penghampiran yang baik telah diperoleh sebelum.

Latihan ketiga

Anggaran ³√10, di mana ³√ menandakan akar padu.

Penyelesaian

Jelas fungsi yang harus digunakan dalam latihan ini adalah f (x) = ³√x dan nilai "x" mestilah "10".

Nilai yang dekat dengan "10" sedemikian rupa sehingga akar kiubnya diketahui adalah "x0 = 8". Kemudian anda perlu Dx = 10-8 = 2 f (x0) = f (8) = 2. Juga kita telah f '(x) = 1/3 * ³√x², dan seterusnya f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Penggantian data dalam formula itu diperolehi bahawa:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

Kalkulator mengatakan bahawa ³√10 ≈ 2.15443469 ... Oleh itu, perkiraan yang didapati adalah baik.

Latihan keempat

Anggaran ln (1.3), di mana "ln" menandakan fungsi logaritm semula jadi.

Penyelesaian

Pertama, fungsi f (x) = ln (x) dipilih dan nilai "x" ialah 1.3. Sekarang, mengetahui sedikit tentang fungsi logaritma, kita dapat mengetahui bahawa ln (1) = 0, dan juga "1" adalah hampir dengan "1.3". Oleh itu, "x0 = 1" dipilih dan jadi Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

Sebaliknya f '(x) = 1 / x, supaya f' (1) = 1. Apabila menilai dalam formula yang diberikan, anda perlu:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Apabila menggunakan kalkulator anda perlu ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Oleh itu, perkiraan yang dilakukan adalah baik.

Rujukan

1. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Matematik Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Matematik Precalculus: pendekatan penyelesaian masalah (2, Illustrated ed.). Michigan: Dewan Prentice.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Pembelajaran Cengage.
5. Leal, J. M., & Viloria, N. G. (2005). Geometri Analitik Rata. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pendidikan Pearson.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Pengiraan (Kesembilan ed.). Dewan Prentice.
8. Saenz, J. (2005). Kalkulus berbeza dengan fungsi transendental awal untuk Sains dan Kejuruteraan (Edisi Kedua ed.). Hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Bidang Geometri Kapal Cartesian, Bahagian: Conics Analytical (1907) (cetakan semula ed.). Sumber Kilat.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pendidikan Pearson.