Derivatif algebra (dengan contoh)

The derivatif algebra mereka terdiri dalam kajian derivatif dalam kes tertentu fungsi algebra. Asal usul derivatif kembali ke Yunani Kuno. Perkembangan konsep ini didorong oleh keperluan untuk menyelesaikan dua masalah penting, satu dalam fizik dan satu lagi dalam matematik.

Dalam fizik, derivatif menyelesaikan masalah untuk menentukan halaju sesaat objek bergerak. Dalam matematik, anda boleh mencari garis tangen pada lengkung pada titik tertentu.

Walaupun terdapat banyak lagi masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan derivatif, serta generalisasi, hasil yang datang selepas pengenalan konsepnya.

Perintis kalkulus kebezaan adalah Newton dan Leibniz. Sebelum memberi takrif rasmi, kita akan mengembangkan idea di belakang, dari segi pandangan matematik dan fizikal.

Indeks

• 1 Derivatif sebagai cerun garis lurus ke lengkung
• 2 Derivatif sebagai halaju sesaat objek bergerak
  • 2.1 fungsi algebra
• 3 Peraturan derivasi
  • 3.1 Berasal dari pemalar
  • 3.2 Derivatif kuasa
  • 3.3 Berasal daripada penambahan dan penolakan
  • 3.4 Derivatif produk
  • 3.5 Berasal daripada sebutan
  • 3.6 Peraturan rangkaian
• 4 Rujukan

Derivatif sebagai cerun garis lurus ke lengkung

Katakan graf fungsi y = f (x) adalah graf (tanpa puncak atau apexes atau pemisahan), dan A = (a, f (a)) tetap mengenai hal itu. Kami mencari persamaan garis tangen kepada graf fungsi f pada titik A.

Mengambil satu lagi titik P = (x, f (x)) graf berhampiran titik A, dan membiarkan kami garis sekan melalui A dan P. bahan pengering A ialah garis lurus yang bersilang graf lengkung dalam satu atau lebih banyak mata.

Untuk mendapatkan garis tangen yang kita mahu, kita hanya perlu mengira cerun kerana kita sudah mempunyai titik pada garis: titik A.

Jika kita bergerak titik P di sepanjang graf dan bawa ia lebih dekat dan lebih dekat ke titik A, garis secant tersebut akan mendekati garis tangen yang kita mahu cari. Mengambil had apabila "P cenderung kepada A", kedua-dua baris akan bertepatan, oleh itu lerengnya juga.

Cerun garis secant diberikan oleh

Untuk mengatakan bahawa P mendekati A bersamaan dengan mengatakan bahawa "x" mendekati "a". Oleh itu, cerun garis tangen kepada graf f pada titik A, akan sama dengan:

Ungkapan di atas dilambangkan oleh f '(a), dan ditakrifkan sebagai derivatif fungsi f pada titik "a". Kita lihat kemudian bahawa secara analitik, derivatif fungsi dalam satu titik adalah had, tetapi secara geometri, ia adalah cerun garis tangen kepada graf fungsi di titik.

Sekarang kita akan melihat tanggapan ini dari sudut fizik. Kami akan sampai pada ekspresi yang sama dengan had sebelum ini, walaupun dengan cara yang berbeza, memperoleh pengertian definisi.

Derivatif sebagai halaju sesaat objek bergerak

Mari kita lihat contoh ringkas tentang apa kelajuan pantas. Ketika dikatakan, contohnya, sebuah kereta untuk mencapai tujuan melakukannya dengan kecepatan 100 km per jam, yang berarti dalam satu jam ia mengembara 100 km.

Ini tidak semestinya bermakna sepanjang sepanjang waktu, kereta itu sentiasa 100 km jauhnya, speedometer kereta itu mungkin dalam beberapa saat menandakan kurang atau lebih. Jika dia mempunyai keperluan untuk berhenti di lampu isyarat, kelajuan pada saat itu adalah 0 km. Walau bagaimanapun, selepas satu jam, laluan itu adalah 100 km.

Inilah yang dikenali sebagai kelajuan purata dan diberi oleh jarak jarak perjalanan antara masa berlalu, seperti yang baru kita lihat. Kelajuan seketika, sebaliknya, adalah yang menandakan jarum speedometer kereta dalam seketika (waktu) ditentukan.

Mari lihat sekarang lebih umum. Katakan sesuatu objek bergerak di sepanjang garis dan anjakan ini diwakili oleh persamaan s = f (t), di mana t pembolehubah diukur masa dan pembolehubah s anjakan, memandangkan permulaan mereka dalam t = 0, di mana juga sifar, iaitu, f (0) = 0.

Fungsi ini f (t) dikenali sebagai fungsi kedudukan.

Ungkapan dicari untuk halaju seketika objek pada "tetap" segera. Pada kelajuan ini kita akan menunjukkannya dengan V (a).

Katakanlah apa-apa segera dekat dengan "a" segera. Dalam selang masa antara "a" dan "t", perubahan kedudukan objek diberikan oleh f (t) -f (a).

Kelajuan rata-rata dalam selang masa ini ialah:

Yang merupakan penghampiran dari halaju sesaat V (a). Penghampiran ini akan lebih baik kerana t semakin hampir kepada "a". Oleh itu,

Perhatikan bahawa ungkapan ini sama dengan yang diperolehi dalam kes sebelumnya, tetapi dari perspektif yang berbeza. Inilah yang dikenali sebagai derivatif fungsi f pada satu titik "a" dan dilambangkan oleh f '(a), seperti yang dinyatakan di atas.

Perhatikan bahawa membuat perubahan h = x-a, kita mempunyai bahawa apabila "x" cenderung kepada "a", "h" cenderung kepada 0, dan had sebelumnya diubah (setara) kepada:

Kedua-dua ungkapan bersamaan tetapi kadang-kadang lebih baik menggunakan satu daripada yang lain, bergantung kepada kes itu.

Derivatif fungsi f kemudiannya ditakrifkan lebih umum pada mana-mana titik "x" kepunyaan domainnya sebagai

Notasi yang paling biasa untuk mewakili derivatif fungsi y = f (x) adalah yang baru kita lihat (f 'o dan'). Walau bagaimanapun, satu lagi notasi yang digunakan secara meluas ialah notasi Leibniz yang diwakili sebagai ungkapan berikut:

Memandangkan hakikat bahawa derivatif pada dasarnya adalah had, ia mungkin atau mungkin tidak wujud, kerana had tidak selalu wujud. Sekiranya ia wujud, dikatakan bahawa fungsi yang berkenaan adalah berbeza pada titik yang diberikan.

Fungsi algebra

Fungsi algebra adalah kombinasi polinomial dengan cara jumlah, penolakan, produk, kuota, kuasa dan radikal.

Polinomial adalah ungkapan bentuk

P_n= a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ a_n-2x^n-2+... + a₂x²+ a₁x + a₀

Di mana n adalah nombor semula jadi dan semua a_i, dengan i = 0,1, ..., n, adalah nombor rasional dan a_n≠ 0 Dalam kes ini dikatakan bahawa tahap polinomial ini adalah n.

Berikut adalah contoh fungsi algebra:

Di sini, fungsi eksponen, logaritma dan trigonometri tidak termasuk. Peraturan derivasi yang akan kita lihat di bawah adalah sah untuk fungsi umum, tetapi kita akan menyekat diri kita dan memohon mereka dalam hal fungsi algebra.

Bypass rules

Berasal daripada pemalar

Ia menetapkan bahawa derivatif pemalar adalah sifar. Itulah, jika f (x) = c, maka f '(x) = 0. Sebagai contoh, terbitan fungsi pemalar 2 adalah sama dengan 0.

Berasal dari kuasa

Jika f (x) = xⁿ, maka f '(x) = nx^n-1. Sebagai contoh, terbitan x³ Ia 3x². Sebagai akibat daripada ini, kita dapati bahawa derivatif fungsi identiti f (x) = x ialah f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Contoh lain ialah: f (x) = 1 / x², maka f (x) = x^-2 dan f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Harta ini juga sah, kerana akarnya adalah kuasa rasional dan anda boleh memohon di atas juga dalam kes itu. Sebagai contoh, terbitan akar segi empat diberikan oleh

Berasal daripada jumlah dan pengurangan

Jika f dan g adalah fungsi yang berbeza di x, maka jumlah f + g juga berbeza dan bahawa (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Secara analog, kita mempunyai (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Dengan kata lain, derivatif daripada jumlah (penolakan), adalah jumlah (atau penolakan) derivatif.

Contoh

Jika h (x) = x²+x-1, kemudian

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Berasal daripada produk

Jika f dan g adalah fungsi yang berbeza dalam x, maka fg produk juga berbeza dengan x dan ia telah dipenuhi

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Oleh itu, kita mempunyai bahawa jika c adalah malar dan f adalah fungsi yang berbeza dalam x, maka cf juga berbeza daripada x dan (cf) '(x) = cf' (X).

Contoh

Jika f (x) = 3x (x²+1), kemudian

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) '+ (1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

Berasal daripada sebutan

Jika f dan g boleh dibezakan dalam x dan g (x) ≠ 0, maka f / g juga berbeza di x, dan benar bahawa

Contoh: jika h (x) = x³/ (x²-5x), kemudian

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Peraturan rantai

Peraturan ini membolehkan terbitan komposisi fungsi. Syarikat: jika y = f (u) adalah beza di u, u = g (x) adalah beza dalam x, maka fungsi gubahan f (g (x)) adalah beza dalam x, dan ia berpendapat bahawa [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Iaitu, derivatif fungsi komposit adalah hasil derivatif fungsi luaran (derivatif luaran) oleh terbitan fungsi dalaman (derivatif dalaman).

Contoh

Jika f (x) = (x⁴-2x)³, kemudian

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Terdapat juga hasil untuk mengira derivatif dari kebalikan fungsi, serta generalisasi kepada derivatif pesanan yang lebih tinggi. Aplikasi adalah luas. Antaranya mereka menyerlahkan utiliti mereka dalam masalah pengoptimuman dan fungsi maksimum dan minimum.

Rujukan

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Pengiraan Berbeza. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Pengiraan 4000. Progresial Editorial.
3. Castaño, H. F. (2005). Matematik sebelum pengiraan. Universiti Medellin.
4. Eduardo, N. A. (2003). Pengenalan Pengiraan. Edisi ambang.
5. Sumber, A. (2016). MATEMATIK BASIC. Pengenalan Pengiraan. Lulu.com.
6. Purcell, E. J., Rigdon, S. E., & Varberg, D. E. (2007). Pengiraan. Pendidikan Pearson.
7. Saenz, J. (2005). Pengiraan Berbeza (Ed ed.). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, G. B., & Weir, M. D. (2006). Pengiraan: beberapa pembolehubah. Pendidikan Pearson.