Kongsi:
Derivatif Berjadual (dengan Latihan yang Selesai)
The derivatif berturut-turut adalah derivatif fungsi selepas derivatif kedua. Proses untuk mengira derivatif berturut-turut adalah seperti berikut: kita mempunyai f fungsi, yang mana kita dapat memperoleh dan dengan itu memperoleh fungsi derivatif f '. Untuk derivatif ini kita dapat memperolehnya sekali lagi, mendapatkan (f ')'.
Fungsi baru ini disebut derivatif kedua; semua derivatif yang dikira dari kedua adalah berturut-turut; ini, juga dikenali sebagai perintah yang lebih tinggi, mempunyai aplikasi yang besar, seperti memberi maklumat mengenai kesan graf ujian fungsi untuk extrema relatif terbitan kedua dan mengenal pasti siri tak terhingga.
Indeks
- 1 Definisi
- 1.1 Contoh 1
- 1.2 Contoh 2
- 2 Kelajuan dan pecutan
- 2.1 Contoh 1
- 2.2 Contoh 2
- 3 Aplikasi
- 3.1 Derivasi Mplified
- 3.2 Contoh
- 3.3 Hujung relatif
- 3.4 Contoh
- 3.5 siri Taylor
- 3.6 Contoh
- 4 Rujukan
Definisi
Dengan menggunakan notasi Leibniz, kita mempunyai fungsi derivatif "dan" berkenaan dengan "x" ialah dy / dx. Untuk menyatakan derivatif kedua "dan" menggunakan notasi Leibniz, kami menulis seperti berikut:
Secara umum, kita dapat menyatakan derivatif berturut-turut seperti berikut dengan nota Leibniz, di mana n mewakili perintah derivatif.
Nota-nota lain yang digunakan adalah seperti berikut:
Beberapa contoh di mana kita dapat melihat notasi yang berbeza adalah:
Contoh 1
Dapatkan semua derivatif fungsi yang ditakrifkan oleh:
Menggunakan teknik derivasi biasa, kita mempunyai bahawa derivatif f ialah:
Dengan mengulangi proses, kita dapat memperoleh derivatif kedua, derivatif ketiga dan sebagainya.
Perhatikan bahawa derivatif keempat adalah sifar dan derivatif sifar adalah sifar, jadi kami perlu:
Contoh 2
Kirakan derivatif keempat fungsi berikut:
Menerima fungsi yang kami hasilkan sebagai berikut:
Kelajuan dan pecutan
Salah satu motivasi yang membawa kepada penemuan derivatif ialah mencari definisi halaju sesaat. Takrif formal adalah yang berikut:
Let y = f (t) menjadi fungsi yang grafnya menerangkan trajektori zarah dalam seketika t, maka lajunya dalam instant t diberikan oleh:
Setelah memperoleh halaju zarah, kita boleh mengira pecutan segera, yang ditakrifkan sebagai berikut:
Percepatan seketika zarah yang laluannya diberikan oleh y = f (t) ialah:
Contoh 1
Satu zarah bergerak pada baris mengikut fungsi kedudukan:
Di mana "y" diukur dalam meter dan "t" dalam saat.
- Pada bila-bila masa kelajuan anda adalah 0?
- Pada masa itu, pecutan anda ialah 0?
Apabila mendapat fungsi kedudukan "dan" kita mempunyai kelajuan dan pecutan masing-masing diberikan oleh:
Untuk menjawab soalan pertama, sudah cukup untuk menentukan apabila fungsi v menjadi sifar; ini adalah:
Kami meneruskan dengan soalan berikut secara analog:
Contoh 2
Satu zarah bergerak pada baris mengikut persamaan pergerakan berikut:
Tentukan "t, y" dan "v" apabila a = 0.
Mengetahui kelajuan dan pecutan diberikan oleh
Kami terus mendapatkan dan memperoleh:
Dengan melakukan a = 0, kami mempunyai:
Dari mana kita dapat menyimpulkan bahawa nilai t untuk menjadi sama dengan sifar ialah t = 1.
Kemudian, menilai fungsi kedudukan dan fungsi halaju pada t = 1, kita perlu:
Permohonan
Pengeluaran semula
Derivatif berturut-turut juga boleh didapati dengan derivasi tersirat.
Contoh
Memandangkan elips berikut, cari "dan":
Berikan secara tersirat berkenaan dengan x, kami mempunyai:
Kemudian, dengan memperoleh semula secara tersirat berkenaan dengan x, ia memberi kita:
Akhirnya, kami mempunyai:
Hujung relatifnya
Penggunaan lain yang boleh kita berikan kepada derivatif pesanan kedua adalah dalam pengiraan hujung relatif fungsi.
Ujian derivatif untuk extrema tempatan memberitahu kita bahawa jika kita mempunyai fungsi f berterusan dalam selang (a, b) dan c ada yang dimiliki berkata jajaran yang membatalkan f'se c (iaitu c yang adalah titik kritikal), ia boleh menjadi salah satu daripada tiga perkara:
- Jika f '(x)> 0 untuk mana-mana x kepunyaan (a, c) dan f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.
- Jika f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 untuk x kepunyaan (c, b), maka f (c) adalah minimum tempatan.
- Jika f '(x) mempunyai tanda yang sama dalam (a, c) dan dalam (c, b), ia menunjukkan bahawa f (c) bukan titik akhir tempatan.
Menggunakan ujian terbitan kedua boleh memberitahu jika beberapa kritikal fungsi adalah maksimum atau minimum tempatan tanpa perlu melihat apa tanda fungsi dalam selang atas.
Kriteria drift kedua memberitahu kita bahawa jika f '(c) = 0 dan f "(x) adalah berterusan dalam (a, b), jika berlaku f" (c)> 0 maka f (c) ialah minimum tempatan dan jika f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.
Sekiranya f "(c) = 0, kita tidak dapat menyimpulkan apa-apa.
Contoh
Memandangkan fungsi f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4x2, Cari maxima relatif dan minima f yang menggunakan kriteria derivatif kedua.
Mula-mula kita mengira f '(x) dan f "(x) dan kita mempunyai:
f '(x) = 4x3 + 4x2 - 8x
f "(x) = 12x2 + 8x - 8
Sekarang, f '(x) = 0 jika dan hanya jika 4x (x + 2) (x - 1) = 0, dan ini berlaku apabila x = 0, x = 1 atau x = - 2.
Untuk menentukan sama ada bilangan kritikal yang diperoleh adalah keterlaluan relatif ia cukup untuk menilai dalam f "dan dengan itu memerhatikan tanda.
f "(0) = - 8, jadi f (0) adalah maksimum tempatan.
f "(1) = 12, jadi f (1) adalah minimum tempatan.
f "(- 2) = 24, jadi f (- 2) adalah minimum tempatan.
Siri Taylor
Biarkan f menjadi fungsi yang ditakrifkan seperti berikut:
Fungsi ini mempunyai jejari konvergensi R> 0 dan mempunyai derivatif semua pesanan dalam (-R, R). Derivatif berturut-turut f memberi kami:
Mengambil x = 0, kita boleh mendapatkan nilai cn berdasarkan turunannya seperti berikut:
Jika kita mengambil n = 0 sebagai fungsi f (iaitu, f ^ 0 = f), maka kita boleh menulis semula fungsi seperti berikut:
Sekarang fikirkan fungsi sebagai satu siri kuasa dalam x = a:
Sekiranya kita melakukan analisa analog dengan yang terdahulu, kita perlu menulis fungsi f sebagai:
Siri ini dikenali sebagai siri Taylor f dalam a. Apabila a = 0 kita mempunyai kes tertentu yang dipanggil siri Maclaurin. Jenis siri ini adalah kepentingan matematik yang besar terutamanya dalam analisis berangka, kerana terima kasih kepada ini kita boleh menentukan fungsi dalam komputer sepertix , sin (x) dan cos (x).
Contoh
Dapatkan siri Maclaurin untuk ex.
Perhatikan bahawa jika f (x) = ex, maka f(n)(x) = ex dan f(n)(0) = 1, itulah sebabnya siri Maclaurinnya ialah:
Rujukan
- Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). Pengiraan 5ed. Mc Graw Hill.
- Leithold, L. (1992). PERKULANGAN dengan Geometri Analisis. HARLA, S.A.
- Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Pengiraan. Mexico: Pendidikan Pearson.
- Saenz, J. (2005). Pengiraan Berbeza. Hypotenuse.
- Saenz, J. (s.f.). Kalkulus Komprehensif. Hypotenuse.