Kes dan Contoh Fraksi Separa



The pecahan separa mereka adalah pecahan yang dibentuk oleh polinomial, di mana penyebutnya boleh menjadi polinomial linear atau kuadratik dan, sebagai tambahan, boleh dibangkitkan kepada beberapa kuasa. Kadang kala, apabila kita mempunyai fungsi rasional, sangat berguna untuk menulis semula fungsi ini sebagai jumlah pecahan separa atau pecahan mudah.

Ini adalah kerana dengan cara ini kita dapat memanipulasi fungsi ini dengan cara yang lebih baik, terutamanya dalam kes-kes yang perlu untuk mengintegrasikan aplikasi ini. Fungsi rasional hanya sekatan antara dua polinomial, dan mungkin betul atau tidak wajar.

Jika tahap polinomial pengangka adalah lebih kecil daripada penyebut, ia dipanggil fungsi rasionalnya sendiri; jika tidak, ia dikenali sebagai fungsi rasional yang tidak wajar.

Indeks

  • 1 Definisi
  • 2 Kes
    • 2.1 Kes 1
    • 2.2 Kes 2
    • 2.3 Kes 3
    • 2.4 Kes 4
  • 3 Aplikasi
    • 3.1 Pengiraan komprehensif
    • 3.2 Undang-undang tindakan besar-besaran
    • Persamaan pembezaan: persamaan logistik
  • 4 Rujukan

Definisi

Apabila kita mempunyai fungsi rasional yang tidak betul, kita boleh membahagikan pengangka polinomial dengan polinomial penyebut dan dengan itu menulis semula p pecahan (x) / q (x) berikutan algoritma bahagian ini t (x) + s (x) / q (x), di mana t (x) adalah s polinomial (x) / q (x) ialah fungsi rasional yang betul.

Pecahan separa adalah sebarang fungsi polinomial yang betul, yang mana penyebutnya adalah bentuk (kapak + b)n o (kapak2+ bx + c)n, jika kapak polinomial2 + bx + c tidak mempunyai akar sebenar dan n adalah nombor semula jadi.

Untuk menulis semula fungsi rasional dalam pecahan sebahagian, perkara pertama yang perlu dilakukan ialah faktor penyebut q (x) sebagai produk faktor linier dan / atau kuadratik. Apabila ini dilakukan, pecahan separa ditentukan, bergantung kepada jenis faktor tersebut.

Kes

Kami menganggap beberapa kes secara berasingan.

Kes 1

Faktor-faktor q (x) semuanya linier dan tiada yang diulang. Itulah:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (asx + bs)

Di sana, tiada faktor linear sama dengan yang lain. Apabila berlaku kes ini kita akan menulis:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + As/ (asx + bs).

Di mana A1,A2,..., As adalah pemalar yang anda mahu cari.

Contoh

Kami ingin menguraikan fungsi rasional ke dalam pecahan mudah:

(x - 1) / (x3+3x2+2x)

Kami terus memfaktorkan penyebut, iaitu:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Kemudian:

(x - 1) / (x3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Memohon kurang kerap biasa, anda boleh mendapatkannya:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Kami ingin mendapatkan nilai pemalar A, B dan C, yang boleh didapati dengan menggantikan akar yang membatalkan setiap istilah. Menggantikan 0 untuk x yang kami ada:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Substituting - 1 untuk x kita ada:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Substituting - 2 untuk x kami ada:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Dengan cara ini, nilai A = -1/2, B = 2 dan C = -3/2 diperoleh..

Terdapat kaedah lain untuk mendapatkan nilai A, B dan C. Jika di sebelah kanan persamaan x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x kita menggabungkan istilah, kita mempunyai:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Oleh kerana ini adalah kesamaan polinomial, kita mempunyai bahawa pekali di sebelah kiri mesti sama dengan yang sebelah kanan. Ini menghasilkan sistem persamaan berikut:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Apabila menyelesaikan sistem persamaan ini, kita memperoleh keputusan A = -1/2, B = 2 dan C = -3/2.

Akhir sekali, menggantikan nilai yang diperolehi untuk:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2).

Kes 2

Faktor-faktor q (x) semua linear dan ada yang diulang. Katakan bahawa (ax + b) adalah faktor yang diulang "s" kali; maka, faktor ini sepadan dengan pecahan separa "s".

As/ (kapak + b)s + As-1/ (kapak + b)s-1 +... + A1/ (kapak + b).

Di mana As,As-1,..., A1 mereka adalah pemalar yang akan ditentukan. Dengan contoh berikut, kami akan menunjukkan bagaimana untuk menentukan pemalar ini.

Contoh

Menguraikan menjadi pecahan separa:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Kami menulis fungsi rasional sebagai jumlah pecahan separa seperti berikut:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

Kemudian:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Menggantikan 2 untuk x, kita perlu:

7 = 4C, iaitu, C = 7/4.

Penggantian 0 untuk x yang kami ada:

- 1 = -8A atau A = 1/8.

Menggantikan nilai-nilai ini dalam persamaan sebelumnya dan berkembang, kita perlu:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +Dx3 - 2Dx2 + Ex2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Dengan koefisien yang sepadan, kita memperoleh sistem persamaan berikut:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Menyelesaikan sistem, kami mempunyai:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Kerana ini, kita perlu:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

Kes 3

Faktor-faktor q (x) adalah linear kuadratik, tanpa sebarang faktor kuadrat berulang. Untuk kes ini, faktor kuadratik (kapak2 + bx + c) bersamaan dengan pecahan separa (Ax + B) / (kapak)2 + bx + c), di mana pemalar A dan B adalah yang anda mahu tentukan.

Contoh berikut menunjukkan cara untuk meneruskan dalam kes ini

Contoh

Menguraikan kepada pecahan mudah a (x + 1) / (x3 - 1).

Mula-mula kita meneruskan faktor penyebut, yang memberi kita hasilnya:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Kita boleh lihat bahawa (x2 + x + 1) adalah polinomial kuadrat yang tidak dapat ditekankan; iaitu, ia tidak mempunyai akar sebenar. Penguraiannya menjadi pecahan separa adalah seperti berikut:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

Dari sini kita dapati persamaan berikut:

x + 1 = (A + B) x2 +(A - B + C) x + (A - C)

Menggunakan kesamaan polinomial, kita memperoleh sistem berikut:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Dari sistem ini kita mempunyai A = 2/3, B = - 2/3 dan C = 1/3. Menggantikan, kita perlu:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1).

Kes 4

Akhir sekali, perkara 4 adalah satu di mana faktor-faktor q (x) adalah linear dan kuadrat, di mana beberapa faktor kuadrat linier diulang.

Dalam kes ini, ya (kapak2 + bx + c) adalah faktor kuadratik yang diulang "s" kali, maka pecahan sebahagian sepadan dengan faktor (kapak)2 + bx + c) akan:

(A1x + B) / (kapak2 + bx + c) + ... + (As-1x + Bs-1) / (kapak)2 + bx + c)s-1 + (Asx + Bs) / (kapak)2 + bx + c)s

Di mana As, As-1,..., A dan Bs, Bs-1,..., B adalah pemalar yang anda mahu tentukan.

Contoh

Kami ingin memecah fungsi rasional berikut kepada pecahan separa:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Seperti x2 - 4x + 5 adalah faktor kuadrat yang tidak dapat diagihkan, kita mempunyai penguraiannya menjadi pecahan separa diberikan oleh:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x +5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Menyederhanakan dan membangun, kami mempunyai:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Daripada perkara di atas, kita mempunyai sistem persamaan berikut:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Apabila menyelesaikan sistem, kami perlu:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 dan E = - 3/5.

Apabila menggantikan nilai yang diperolehi, kami ada:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

Permohonan

Pengiraan yang komprehensif

Frasa separa digunakan terutamanya untuk kajian kalkulus integral. Di bawah ini kita akan melihat beberapa contoh cara membuat integral menggunakan pecahan separa.

Contoh 1

Kami ingin mengira pentingnya:

Kita boleh lihat bahawa penyebut q (x) = (t + 2)2(t + 1) terdiri daripada faktor linear di mana salah satu daripada ulangan ini; untuk ini kita berada dalam kes 2.

Kita perlu:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Kami menulis semula persamaan dan kami mempunyai:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Jika t = - 1, kita perlu:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Jika t = - 2, ia memberi kami:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Kemudian, jika t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Menggantikan nilai A dan C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Dari atas, kita mempunyai B = - 1.

Kami menulis semula yang penting sebagai:

Kami meneruskan untuk menyelesaikannya dengan kaedah penggantian:

Ini menyebabkan:

Contoh 2

Selesaikan pentingnya:

Dalam kes ini kita boleh faktor ke q (x) = x2 - 4 sebagai q (x) = (x - 2) (x + 2). Jelas sekali kita berada dalam kes 1. Oleh itu:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Ia juga boleh dinyatakan sebagai:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Jika x = - 2, kita ada:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Dan jika x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Oleh itu, kita perlu menyelesaikan integral yang diberikan bersamaan dengan menyelesaikannya:

Ini memberi kita hasil:

Contoh 3

Menyelesaikan perkara penting:

Kami ada q (x) = 9x4 + x2 , bahawa kita boleh faktor dalam q (x) = x2(9x2 + 1).

Pada kesempatan ini kita mempunyai faktor linear berulang dan faktor kuadratik; iaitu, kita dalam kes 3.

Kita perlu:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

Mengumpulkan dan menggunakan kesamaan polinomial, kami mempunyai:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Dari sistem persamaan ini, kita perlu:

D = - 9 dan C = 0

Dengan cara ini, kita mempunyai:

Dengan menyelesaikan perkara di atas, kami mempunyai:

Undang-undang tindakan besar-besaran

Satu aplikasi menarik pecahan separa yang digunakan untuk kalkulus integral terdapat dalam kimia, lebih tepatnya dalam undang-undang tindakan besar-besaran.

Marilah kita anggap bahawa kita mempunyai dua bahan, A dan B, yang bersatu dan membentuk suatu bahan C, supaya derivatif kuantiti C sehubungan dengan masa adalah berkadar dengan hasil kuantiti A dan B pada suatu saat tertentu.

Kita boleh menyatakan undang-undang tindakan besar-besaran seperti berikut:

Dalam ungkapan ini α ialah kuantiti permulaan gram sepadan dengan A dan β kuantiti permulaan gram sepadan dengan B.

Di samping itu, r dan s mewakili bilangan gram A dan B masing-masing yang bergabung untuk membentuk gram r + s C. Bagi bahagiannya, x mewakili bilangan gram bahan C pada masa t, dan K ialah pengadaran yang berterusan. Persamaan di atas boleh ditulis semula sebagai:

Membuat perubahan berikut:

Kita mempunyai persamaan itu menjadi:

Dari ungkapan ini kita boleh mendapatkan:

Jika ya ≠ b, pecahan separa boleh digunakan untuk integrasi.

Contoh

Ambil sebagai contoh bahan C yang timbul daripada menggabungkan bahan A dengan B, sedemikian rupa sehingga undang-undang orang ramai dipenuhi di mana nilai a dan b masing-masing adalah 8 dan 6. Berikan persamaan yang memberi kita nilai gram C sebagai fungsi masa.

Menggantikan nilai-nilai dalam undang-undang massa yang diberikan, kami mempunyai:

Apabila memisahkan pembolehubah yang kami ada:

Di sini 1 / (8 - x) (6 - x) boleh ditulis sebagai jumlah pecahan separa, seperti berikut:

Jadi, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Sekiranya kita menggantikan x untuk 6, kita mempunyai B = 1/2; dan menggantikan x untuk 8, kita mempunyai A = - 1/2.

Mengintegrasikan dengan pecahan separa yang kita ada:

Ini memberi kita hasil:

Persamaan pembezaan: persamaan logistik

Satu lagi aplikasi yang boleh diberikan kepada pecahan sebahagian adalah dalam persamaan pembezaan logistik. Dalam model mudah kita mempunyai bahawa kadar pertumbuhan penduduk adalah berkadar dengan saiznya; iaitu:

Kes ini adalah ideal dan dianggap realistik sehingga ia berlaku bahawa sumber yang ada dalam sistem tidak mencukupi untuk mengekalkan populasi.

Dalam situasi ini, adalah lebih munasabah untuk berfikir bahawa terdapat kapasiti maksimum, yang akan kita panggil L, bahawa sistem itu dapat bertahan, dan kadar pertumbuhan adalah berkadar dengan saiz penduduk yang didarab dengan saiz yang ada. Hujah ini membawa kepada persamaan pembezaan berikut:

Ungkapan ini dipanggil persamaan pembezaan logistik. Ia adalah persamaan pembezaan yang boleh dipisahkan yang boleh diselesaikan dengan kaedah penyepaduan oleh pecahan separa.

Contoh

Contohnya ialah untuk mempertimbangkan populasi yang tumbuh mengikut persamaan kebezaan logistik berikut y '= 0.0004y (1000 - y), yang data awalnya adalah 400. Kita mahu mengetahui saiz populasi pada masa t = 2, di mana t diukur dalam tahun.

Jika kita menulis dan 'dengan notasi Leibniz sebagai fungsi yang bergantung kepada t, kita perlu:

Integral sebelah kiri dapat diselesaikan menggunakan kaedah integrasi dengan pecahan separa:

Kesamaan terakhir ini boleh ditulis semula seperti berikut:

- Substituting y = 0 kita mempunyai A sama dengan 1/1000.

- Substituting y = 1000 kita mempunyai B bersamaan dengan 1/1000.

Dengan nilai-nilai ini, integral dibiarkan seperti berikut:

Penyelesaiannya ialah:

Menggunakan data awal:

Apabila membersihkan dan kami telah meninggalkan:

Kemudian kita ada di t = 2:

Sebagai kesimpulan, selepas 2 tahun saiz populasi adalah kira-kira 597.37.

Rujukan

  1. A, R. A. (2012). Matematik 1. Universiti Andes. Majlis Penerbitan.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 diselesaikan integral. Universiti Eksperimen Kebangsaan Tachira.
  3. Leithold, L. (1992). PERKULANGAN dengan Geometri Analisis. HARLA, S.A.
  4. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Pengiraan. Mexico: Pendidikan Pearson.
  5. Saenz, J. (s.f.). Kalkulus Komprehensif. Hypotenuse.