Sejarah Geometri Euclidean, Konsep dan Contoh Asas

The Geometri Euclidean sepadan dengan kajian sifat-sifat ruang geometri di mana aksioma Euclid berpuas hati. Walaupun istilah ini kadang-kadang digunakan untuk merangkumi geometri yang mempunyai dimensi unggul dengan sifat yang serupa, ia biasanya sinonim dengan geometri klasik atau geometri rata..

Pada abad ketiga a. C. Euclid dan murid-muridnya menulis Elemen, sebuah karya yang merangkumi pengetahuan matematik tentang masa yang diberikan dengan struktur logik-deduktif. Sejak itu, geometri telah menjadi sains, pada mulanya untuk menyelesaikan masalah-masalah klasik dan telah berkembang menjadi sains formatif yang membantu untuk membuat alasan.

Indeks

• 1 Sejarah
• 2 Konsep asas
  • 2.1 Pengertian biasa
  • 2.2 Postulates atau aksioma
• 3 Contoh
  • 3.1 Contoh pertama
  • 3.2 Contoh kedua
  • 3.3 Contoh Ketiga
• 4 Rujukan

Sejarah

Untuk membincangkan sejarah geometri Euclidean, adalah penting untuk bermula dengan Euclid of Alexandria dan Elemen.

Apabila Mesir berada di tangan Ptolemy I, selepas kematian Alexander yang Agung, beliau memulakan projeknya di sebuah sekolah di Alexandria.

Antara orang bijak yang mengajar di sekolah ialah Euclid. Ia berspekulasi bahawa tarikh lahirnya lebih kurang dari 325 a. C. dan kematiannya 265 a. C. Kita boleh tahu dengan pasti bahawa dia pergi ke sekolah Plato.

Selama lebih dari tiga puluh tahun Euclid mengajar di Alexandria, membina unsur-unsur terkenalnya: dia mulai menulis keterangan lengkap tentang matematika zamannya. Ajaran Euclid menghasilkan murid-murid cemerlang, seperti Archimedes dan Apollonius Perga.

Euclid bertanggungjawab untuk menstrukturkan penemuan-penemuan yang berbeza dari golongan Yunani klasik di dalam Elemen, tetapi tidak seperti pendahulunya ia tidak menghadkan dirinya untuk menegaskan bahawa teorem adalah benar; Euclides menawarkan demonstrasi.

The Elemen Mereka adalah ringkasan tiga belas buku. Selepas Alkitab, ia adalah buku yang paling diterbitkan, dengan lebih daripada seribu edisi.

The Elemen adalah karya Euclid dalam bidang geometri, dan menawarkan rawatan definitif geometri dua dimensi (satah) dan tiga dimensi (ruang), ini menjadi asal dari apa yang kita ketahui sebagai geometri Euclidean.

Konsep asas

Unsur-unsur itu terdiri daripada definisi, pengertian umum dan postulates (atau aksiom) diikuti oleh teorema, pembinaan dan demonstrasi.

- Satu perkara yang tidak mempunyai bahagian.

- Garis adalah panjang yang tidak mempunyai lebar.

- Garis lurus adalah satu yang sama-sama berhubung dengan titik-titik yang ada di dalamnya.

- Sekiranya dua garisan dipotong supaya sudut bersebelahan adalah sama, sudutnya dipanggil lurus dan garisan dipanggil perpendiculars..

- Garis selari adalah mereka yang, dalam pesawat yang sama, tidak pernah dipotong.

Setelah ini dan definisi lain, Euclid membentangkan senarai lima postulat dan lima pengertian.

Pengertian biasa

- Dua perkara yang sama dengan yang ketiga, sama dengan satu sama lain.

- Jika perkara yang sama ditambah kepada perkara yang sama, hasilnya sama.

- Jika perkara yang sama dikurangkan dari perkara yang sama, hasilnya sama.

- Perkara-perkara yang sepadan dengan satu sama lain sama dengan satu sama lain.

- Jumlahnya lebih besar dari satu bahagian.

Postulat atau aksioma

- Untuk dua mata yang berbeza satu dan hanya satu pas laluan.

- Garis lurus boleh dilanjutkan tanpa batas.

- Anda boleh menarik bulatan dengan mana-mana pusat dan mana-mana jejari.

- Semua sudut tepat adalah sama.

- Sekiranya garis lurus melintasi dua garis lurus supaya sudut dalaman sisi yang sama menambah sehingga kurang daripada dua sudut tepat, maka kedua-dua baris akan berpotongan pada sisi itu.

Posisi terakhir ini dikenali sebagai postulat dari paralel dan telah dirombak seperti berikut: "Untuk titik di luar garis, anda boleh melukis selari tunggal ke baris yang diberikan".

Contohnya

Seterusnya, beberapa teorem Elemen mereka akan menunjukkan sifat-sifat ruang geometri di mana lima postulates Euclid dipenuhi; Di samping itu, mereka akan menggambarkan pemikiran logik-deduktif yang digunakan oleh ahli matematik ini.

Contoh pertama

Proposisi 1.4. (LAL)

Jika dua segitiga mempunyai dua sisi dan sudut di antara mereka sama, maka sisi-sisi lain dan sudut-sudut lain adalah sama.

Demonstrasi

Biarkan ABC dan A'B'C 'menjadi dua segi tiga dengan AB = A'B', AC = A'C 'dan sudut BAC dan B'A'C' sama. Pindah ke segitiga A'B'C 'supaya A'B' bertepatan dengan AB dan sudut B'A'C 'bertepatan dengan sudut BAC.

Kemudian, baris A'C 'bertepatan dengan garis AC, supaya C' bertepatan dengan C. Kemudian, dengan postulat 1, baris BC mesti bertepatan dengan garis B'C '. Oleh itu kedua-dua segi tiga bertepatan dan, oleh itu, sudut dan sisi mereka adalah sama.

Contoh kedua

Cadangan 1.5. (Pons Asinorum)

Sekiranya segitiga mempunyai dua sisi yang sama, maka sudut-sudut yang bertentangan dengan kedua belah pihak adalah sama.

Demonstrasi

Katakan bahawa segi tiga ABC mempunyai sisi yang sama AB dan AC.

Kemudian, segitiga ABD dan ACD mempunyai dua sisi yang sama dan sudut di antara mereka adalah sama. Oleh itu, dengan cadangan 1.4, sudut ABD dan ACD adalah sama.

Contoh ketiga

Cadangan 1.31

Anda boleh membina garisan selari dengan garisan yang diberikan oleh titik yang diberikan.

pembinaan

Dengan garis L dan titik P, garis lurus M digambar yang melewati P dan memotong ke L. Kemudian garis lurus N ditarik oleh P yang memotong ke L. Kini, kita mengesan dengan P lurus N yang memotong kepada M, membentuk sudut yang sama dengan yang bentuk L dengan M.

Pengesahan

N selari dengan L.

Demonstrasi

Katakan bahawa L dan N tidak selari dan bersilang pada titik A. Biarkan B menjadi titik di L melebihi A. Pertimbangkan garis O melalui B dan P. Kemudian, potong O untuk membentuk sudut yang menambah kurang daripada dua lurus.

Kemudian, dengan 1.5 baris O mesti dipotong ke garisan L di sisi lain M, jadi L dan O bersilang di dua titik, yang bertentangan dengan postulat 1. Oleh itu, L dan N mestilah selari.

Rujukan

1. Euclid. Unsur Geometri. Universiti Autonomi Nasional Mexico
2. Euclid Enam buku pertama dan unsur kesebelas dan kedua belas Euclid
3. Eugenio Filloy Yague. Didactics dan sejarah geometri Euclidean. Editorial Iberoamerican Group
4. K.Ribnikov. Sejarah Matematik Editorial Mir
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Geometri Analitik Rata. Editorial C.A Venezuelan.