Matematik Diskrit Apa Yang Mereka Berkhidmat, Teori Set



The matematik diskret sesuai dengan bidang matematik yang bertanggungjawab untuk mengkaji set angka semula jadi; iaitu set nombor terhitung terhingga dan terhingga di mana unsur-unsur boleh dikira secara berasingan, satu demi satu.

Set ini dikenali sebagai set diskret; Satu contoh set ini adalah nombor keseluruhan, graf atau ungkapan logik, dan ia digunakan dalam pelbagai bidang sains, terutamanya dalam pengkomputeran atau pengkomputeran.

Indeks

  • 1 Penerangan
  • 2 Apakah matematik diskret??
    • 2.1 Combinatorial
    • 2.2 Teori pengagihan diskret
    • 2.3 Teori maklumat
    • 2.4 Pengkomputeran
    • 2.5 Kriptografi
    • 2.6 Logik
    • 2.7 Teori grafik
    • 2.8 Geometri
  • 3 Teori set
    • 3.1 Set hujung
    • 3.2 Set perakaunan tak terhingga
  • 4 Rujukan

Penerangan

Dalam proses matematik diskret boleh dipertimbangkan, berdasarkan bilangan keseluruhan. Ini bermakna bahawa nombor perpuluhan tidak digunakan dan oleh itu, taksiran atau had tidak digunakan, seperti di tempat lain. Sebagai contoh, satu yang tidak diketahui boleh sama dengan 5 atau 6, tetapi tidak pernah 4.99 atau 5.9.

Sebaliknya, dalam perwakilan grafik pembolehubah akan diskret dan diberikan dari set titik yang terhingga, yang dikira satu persatu, seperti yang dilihat dalam gambar:

Matematik diskret dilahirkan dengan keperluan untuk mendapatkan kajian yang tepat yang dapat digabungkan dan diuji, untuk menerapkannya di berbagai bidang.

Apakah matematik diskret??

Matematik diskret digunakan di pelbagai bidang. Antara yang utama ialah:

Combinatorial

Menetapkan terhingga kajian di mana unsur-unsur boleh dipesan atau digabungkan dan dikira.

Teori pengagihan diskret

Peristiwa kajian yang berlaku di dalam ruang di mana sampel boleh dikira, di mana pengedaran berterusan digunakan untuk menghampiri pengagihan diskret, atau sebaliknya.

Teori maklumat

Ia merujuk kepada pengekodan maklumat, yang digunakan untuk reka bentuk dan penghantaran dan penyimpanan data, contohnya, isyarat analog.

IT

Melalui masalah matematik diskret diselesaikan menggunakan algoritma, serta mengkaji apa yang boleh dikira dan masa yang diperlukan untuk melakukannya (kerumitan).

Kepentingan matematik diskret di kawasan ini telah meningkat dalam beberapa dekad kebelakangan ini, terutamanya untuk pembangunan bahasa pengaturcaraan dan perisian.

Kriptografi

Ia berdasarkan kepada matematik diskret untuk mewujudkan struktur keselamatan atau kaedah penyulitan. Contoh permohonan ini ialah kata laluan, menghantar bit berasingan yang mengandungi maklumat.

Melalui kajian sifat-sifat bilangan bulat dan nombor utama (teori bilangan) boleh mencipta atau memusnahkan kaedah keselamatan tersebut.

Logik

Struktur diskret digunakan, yang biasanya membentuk set terhingga, untuk membuktikan teorem atau, misalnya, mengesahkan perisian.

Teori grafik

Ia membolehkan resolusi masalah logik, menggunakan nod dan garisan yang membentuk satu jenis graf, seperti yang ditunjukkan dalam imej berikut:

Ia adalah kawasan yang berkait rapat dengan matematik diskret kerana ungkapan algebra adalah diskret. Melaluinya, litar elektronik, pemproses, pengaturcaraan (algebra Boolean) dan pangkalan data (aljabar hubungan) telah dibangunkan..

Geometri

Kaji sifat gabungan objek geometri, seperti salutan pesawat. Di sisi lain, geometri pengkomputeran memungkinkan untuk membangunkan masalah geometri dengan menggunakan algoritma.

Teori set

Dalam set matematik diskret (terhingga dan tak terbatas) adalah matlamat utama kajian. Teori set diterbitkan oleh George Cantor, yang menunjukkan bahawa semua set tak terhingga mempunyai saiz yang sama.

Satu kumpulan adalah kumpulan elemen (nombor, benda, haiwan dan orang lain) yang jelas; iaitu, terdapat hubungan yang mengikutnya setiap elemen kepunyaan set, dan dinyatakan, sebagai contoh, kepada ∈ A.

Dalam matematik terdapat kumpulan yang berbeza yang menyusun nombor tertentu mengikut ciri-ciri mereka. Jadi, sebagai contoh, anda mempunyai:

- Set nombor semula jadi N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞.

- Set integer E = -∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞.

- Subset nombor rasional Q * = -∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞.

- Set nombor sebenar R = -∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞.

Set dinamakan dengan huruf abjad, huruf besar; manakala elemen dinamakan dalam huruf kecil, di dalam kawat () dan dipisahkan oleh koma (,). Mereka biasanya diwakili dalam gambar rajah seperti Venn dan Caroll, serta pengiraan.

Dengan operasi asas seperti kesatuan, persimpangan, pelengkap, perbezaan dan produk Cartesian, set dan elemen mereka diuruskan, berdasarkan hubungan kepunyaan.

Terdapat beberapa jenis set, yang paling dikaji dalam matematik diskret adalah yang berikut:

Set hujung

Ia adalah satu yang mempunyai bilangan unsur yang terhingga dan yang sepadan dengan nombor semulajadi. Jadi, sebagai contoh, A = 1, 2, 3,4 adalah set terhingga yang mempunyai 4 elemen.

Set perakaunan tak terhingga

Ia adalah di mana terdapat korespondensi antara unsur-unsur set dan nombor semula jadi; iaitu, dari elemen boleh disenaraikan berturut-turut semua elemen set.

Dengan cara ini, setiap elemen akan sesuai dengan setiap elemen set nombor semulajadi. Sebagai contoh:

Set integer Z = ... -2, -1, 0, 1, 2 ... boleh disenaraikan sebagai Z = 0, 1, -1, 2, -2 .... Dengan cara ini adalah mungkin untuk membuat korespondensi satu sama satu antara unsur-unsur Z dan nombor semula jadi, seperti yang ditunjukkan dalam imej berikut:

Ini adalah kaedah yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berterusan (model dan persamaan) yang mesti ditukarkan menjadi masalah diskret, di mana penyelesaian diketahui dengan anggaran penyelesaian masalah berterusan.

Melihat dengan cara lain, discretization cuba untuk mengekstrak kuantiti yang terhingga dari set titik tak terhingga; dengan cara ini, satu unit berterusan diubah menjadi unit individu.

Secara amnya kaedah ini digunakan dalam analisis berangka, sebagai contoh dalam penyelesaian persamaan kebezaan, dengan cara fungsi yang diwakili oleh jumlah data yang terbatas dalam domainnya, walaupun ia berterusan.

Contoh lain dari discretization ialah penggunaannya untuk menukar isyarat analog kepada digital, apabila unit isyarat berterusan ditukarkan kepada unit individu (mereka dibezakan), dan kemudian dikodkan dan dikagih untuk mendapatkan isyarat digital.

Rujukan

  1. Grimaldi, R. P. (1997). Matematik diskret dan gabungan. Addison Wesley Iberoamericana.
  2. Ferrando, V. Gregori. (1995). Matematik Diskret Reverte.
  3. Jech, T. (2011). Tetapkan Teori. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  4. José Francisco Villalpando Becerra, A. G. (2014). Matematik Diskret: Aplikasi dan Latihan. Patria Editorial Group.
  5. Landau, R. (2005). Pengkomputeran, Kursus Pertama dalam Sains.
  6. Merayo, F. G. (2005). Matematik Diskret. Editorial Thomson.
  7. Rosen, K. H. (2003). Matematik Diskret dan aplikasinya. McGraw-Hill.
  8. Schneider, D. G. (1995). Pendekatan Logikal kepada Matematik Diskret.