Kaedah Dataran Minimum, Latihan Yang Dipecahkan dan Apa Yang Dimiliki



Kaedah dataran paling sedikit adalah salah satu aplikasi yang paling penting dalam penghampiran fungsi. Idea ini adalah untuk mencari lengkung sedemikian, memandangkan satu set pasangan yang disusun, fungsi ini lebih baik mendekati data. Fungsi ini boleh menjadi garis, lengkung kuadratik, lengkung padu, dan lain-lain..

Idea kaedah ini adalah untuk meminimumkan jumlah kuadrat perbezaan dalam ordinat (komponen Y), di antara mata yang dihasilkan oleh fungsi yang dipilih dan mata yang dimiliki oleh set data.

Indeks

  • 1 kaedah kuasa sekurang-kurangnya
  • 2 Latihan diselesaikan
    • 2.1 Latihan 1
    • 2.2 Latihan 2
  • 3 Apa itu??
  • 4 Rujukan

Kaedah kuadrat paling sedikit

Sebelum memberikan kaedah itu, kita harus terlebih dahulu menjelaskan tentang apa yang "pendekatan yang lebih baik" bermakna. Mari kita anggap bahawa kita mencari baris y = b + mx yang paling baik mewakili set n mata, iaitu (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Seperti yang ditunjukkan dalam angka sebelumnya, jika pemboleh ubah x dan y berkaitan dengan garis y = b + mx, maka bagi x = x1 nilai sepadan y ialah b + mx1. Walau bagaimanapun, nilai ini berbeza daripada nilai sebenar y, iaitu y = y1.

Ingat bahawa dalam pesawat, jarak antara dua mata diberikan oleh formula berikut:

Dengan pemikiran ini, untuk menentukan cara memilih garis y = b + mx yang paling sesuai dengan data yang diberikan, masuk akal untuk menggunakan pemilihan garis yang meminimumkan jumlah kuadrat jarak antara titik sebagai kriteria dan lurus.

Oleh kerana jarak di antara titik-titik (x1, y1) dan (x1, b + mx1) adalah y1- (b + mx1), masalah kami dikurangkan untuk mencari nombor m dan b supaya jumlah berikut adalah minimum:

Baris yang memenuhi syarat ini dikenali sebagai "penghampiran baris sekurang-kurangnya kepada mata (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Setelah masalah diselesaikan, kita hanya perlu memilih kaedah untuk mencari anggaran kuadrat-kurangnya. Jika titik (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) semuanya berada pada garisan y = mx + b, kita mesti menjadi collinear dan:

Dalam ungkapan ini:

Akhir sekali, jika titik-titik itu tidak bersifat collinear, maka y-Au = 0 dan masalahnya boleh diterjemahkan ke dalam mencari vektor atau supaya norma Euclidean minimum.

Mencari vektor meminimumkan tidak sukar seperti yang anda fikirkan. Oleh kerana A adalah matriks nx2 dan u adalah matriks 2 × 1, kita mempunyai bahawa vektor Au adalah vektor dalam Rn dan ia tergolong dalam imej A, yang merupakan ruang bawah Rn dengan dimensi tidak lebih dari dua.

Kami akan mengandaikan bahawa n = 3 untuk menunjukkan yang mana prosedur yang harus diikuti. Jika n = 3, imej A akan menjadi satah atau garisan yang melewati asal.

Mari v menjadi vektor meminimumkan. Dalam angka yang kita amati bahawa y-Au diminimumkan apabila ia ortogonal kepada imej A. Itu, jika v adalah vektor meminimumkan, maka ia berlaku bahawa:

Kemudian, kita boleh menyatakan perkara di atas dengan cara ini:

Ini hanya boleh berlaku jika:

Akhirnya, membersihkan v, kita perlu:

Adalah mungkin untuk melakukan ini sejak AtA boleh terbalik selagi n titik diberikan kerana data tidak bersifat collinear.

Kini, jika bukan mencari garis yang ingin kita cari parabola (ekspresi yang akan menjadi bentuk y = a + bx + cx2) yang merupakan penghampiran yang lebih baik kepada titik data n, prosedur akan seperti yang dijelaskan di bawah.

Sekiranya titik data n disebut dalam parabola, ia perlu:

Kemudian:

Dalam cara yang sama kita boleh menulis y = Au. Sekiranya semua titik tidak berada di parabola, kami mempunyai y-Au yang berbeza dari sifar untuk mana-mana vektor u dan masalah kami lagi: cari vektor anda dalam R3 sedemikian rupa sehingga norma || y-Au || sekecil mungkin.

Dengan mengulangi prosedur terdahulu, kita boleh sampai ke vektor yang dicari:

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Cari talian yang paling sesuai dengan mata (1,4), (-2,5), (3, -1) dan (4,1).

Penyelesaian

Kita perlu:

Kemudian:

Oleh itu, kami menyimpulkan bahawa garis yang paling sesuai dengan mata diberikan oleh:

Latihan 2

Katakan bahawa objek jatuh dari ketinggian 200 m. Semasa jatuh, langkah-langkah berikut diambil:

Kita tahu bahawa ketinggian objek tersebut, selepas melewati masa t, diberikan oleh:

Sekiranya kita ingin mendapatkan nilai g, kita boleh mencari parabola yang merupakan penghampiran yang lebih baik kepada lima mata yang diberikan dalam jadual, dan oleh itu kita akan mempunyai pekali yang mengiringi t2 ia akan menjadi anggaran munasabah kepada (-1/2) g jika pengukuran adalah tepat.

Kita perlu:

Dan kemudian:

Oleh itu titik data diselaraskan dengan ungkapan kuadrat berikut:

Kemudian, anda perlu:

Ini adalah nilai yang hampir sama dengan yang betul, iaitu g = 9.81 m / s2. Untuk mendapatkan anggaran yang lebih tepat g, ia perlu bermula dari pemerhatian yang lebih tepat.

Apa itu??

Dalam masalah yang berlaku dalam sains alam atau sosial, mudah untuk menulis hubungan yang berlaku antara pembolehubah yang berbeza dengan beberapa ungkapan matematik.

Sebagai contoh, kita boleh mengaitkan kos (C), pendapatan (I) dan keuntungan (U) dalam ekonomi melalui formula mudah:

Dalam fizik, kita boleh mengaitkan pecutan yang disebabkan oleh graviti, masa objek telah jatuh dan ketinggian objek oleh undang-undang:

Dalam ungkapan sebelumnya so adalah ketinggian awal objek itu dan vo adalah kelajuan awal anda.

Walau bagaimanapun, mencari formula seperti ini bukanlah tugas yang mudah; biasanya terserah kepada profesional yang bertugas bekerja dengan banyak data dan berulang kali melakukan beberapa eksperimen (untuk mengesahkan bahawa hasil yang diperoleh adalah malar) untuk mencari hubungan antara data yang berbeza.

Cara yang biasa untuk mencapai matlamat ini adalah untuk mewakili data yang diperolehi dalam satah sebagai mata dan mencari fungsi yang berterusan yang mendekati mata secara optimum.

Salah satu cara untuk mencari fungsi yang "menghampiri terbaik" data yang diberikan adalah dengan kaedah kuadrat-kurangnya.

Di samping itu, seperti yang kita lihat juga dalam latihan ini, terima kasih kepada kaedah ini, kita boleh mendapatkan penghampiran cukup dekat dengan pemalar fizikal.

Rujukan

  1. Algebra Linear Charles W Curtis. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Teori Keberkesanan Elemen dengan Proses Stokastik. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden & J.Douglas Faires. Analisis Berangka (7ed). Pembelajaran Thompson.
  4. Stanley I. Grossman. Aplikasi Aljabar Linear. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Algebra linear MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO