Ciri-ciri, jenis, keluasan, kelantangan serentak

A parallelepiped adalah badan geometrik yang dibentuk oleh enam wajah, yang ciri utamanya adalah bahawa semua muka mereka adalah parallelograms dan juga wajah bertentangan mereka selari dengan satu sama lain. Ia adalah polyakron biasa dalam kehidupan seharian kita, kerana kita dapat menemuinya dalam kotak kasut, bentuk bata, bentuk gelombang mikro, dan sebagainya..

Menjadi polietron, parallelepiped melampirkan jumlah terhingga dan semua wajahnya rata. Ia adalah sebahagian daripada kumpulan prisma, yang merupakan polyhedra di mana semua simpang mereka terkandung dalam dua pesawat sejajar.

Indeks

• 1 Unsur Parallelepiped
  • 1.1 Wajah
  • 1.2 Edges
  • 1.3 Vertex
  • 1.4 Diagonal
  • 1.5 Pusat
• 2 Ciri-ciri Parallelepiped
• 3 jenis
  • 3.1 Pengiraan pepenjuru
• 4 Kawasan
  • 4.1 Kawasan ortohedron
  • 4.2 Kawasan kiub
  • 4.3 Kawasan rhombohedron
  • 4.4 Kawasan rombik
• 5 Volum selari yang dipanggil
  • 5.1 Selari sempurna
• 6 Bibliografi

Unsur-unsur yang berselerak

Wajah

Mereka adalah masing-masing kawasan yang dibentuk oleh parallelograms yang mengehadkan parallelepiped. Satu parallelepiped mempunyai enam wajah, di mana setiap wajah mempunyai empat wajah bersebelahan dan satu bertentangan. Di samping itu, setiap sisi selari dengan sebaliknya.

Edges

Mereka adalah sisi biasa dua muka. Secara keseluruhan, parallelepiped mempunyai dua belas tepi.

Vertex

Ini adalah titik yang sama dengan tiga muka yang bersebelahan antara satu sama lain dua hingga dua. Parallelepiped mempunyai lapan vertex.

Diagonal

Memandangkan dua sisi bertentangan dengan parallelepiped, kita boleh melukis segmen garisan yang keluar dari puncak satu muka ke arah yang bertentangan dengan yang lain.

Segmen ini dikenali sebagai pepenjuru paralelepiped. Setiap parallelepiped mempunyai empat pepenjuru.

Downtown

Ia adalah titik di mana semua diagonal bersilang.

Ciri-ciri paralelipiped

Seperti yang telah kami nyatakan, badan geometri ini mempunyai dua belas tepi, enam muka dan lapan vertex.

Dalam parallelepiped anda dapat mengenal pasti tiga set yang dibentuk oleh empat tepi, yang selari dengan satu sama lain. Di samping itu, pinggir set ini juga memenuhi sifat yang mempunyai panjang yang sama.

Satu lagi harta benda yang mempunyai parallelepip mempunyai adalah mereka cembung, iaitu, jika kita mengambil sepasang mata kepunyaan pedalaman paralelepiped, segmen yang ditentukan oleh sepasang mata itu juga akan berada di dalam parallelepiped..

Di samping itu, parallelepipeds yang menjadi convex polyhedra mematuhi teorem Euler untuk polyhedra, yang memberikan kita hubungan antara bilangan muka, bilangan tepi dan bilangan simpang. Hubungan ini diberikan dalam bentuk persamaan berikut:

C + V = A + 2

Ciri ini dikenali sebagai ciri Euler.

Di mana C ialah bilangan muka, V bilangan simpang dan A bilangan tepi.

Jenis

Kita boleh mengklasifikasikan parallelepipeds berdasarkan wajah mereka, dalam jenis berikut:

Ortopedik

Mereka adalah parallelepiped di mana wajah mereka dibentuk oleh enam segi empat. Setiap segiempat tepat bersempak dengan bahagian yang bersilang. Mereka adalah yang paling biasa dalam kehidupan seharian kita ini cara biasa kotak kasut dan bata.

Cube atau hexahedron biasa

Ini adalah satu kes tertentu yang sebelumnya, di mana setiap wajah adalah segi empat.

Kubus juga merupakan sebahagian daripada badan geometri yang dipanggil pepejal platonik. Pepejal platonik adalah poliadron cembung, supaya kedua-dua muka dan sudut dalamannya sama dengan satu sama lain.

Romboedro

Ia adalah selari dengan berlian di wajahnya. Berlian ini sama dengan satu sama lain, kerana mereka berkongsi tepi.

Romboiedro

Enam wajahnya adalah rhomboid. Ingatlah bahawa rhomboid adalah poligon dengan empat sisi dan empat sudut yang sama dua hingga dua. The rhomboids adalah parallelograms yang tidak persegi, mahupun segi empat, atau rombus.

Sebaliknya, parallelepiped serong adalah yang mana sekurang-kurangnya satu ketinggian tidak sepadan dengan kelebihannya. Dalam klasifikasi ini kita boleh memasukkan rhombohedrons dan rhombichedrons.

Pengiraan pepenjuru

Untuk mengira pepenjuru ortohedron kita boleh menggunakan Teorem Pythagorean untuk R³.

Ingatlah bahawa ortohedron mempunyai ciri-ciri bahawa setiap sisi berserenjang dengan sisi yang berkongsi kelebihan. Dari fakta ini, kita dapat menyimpulkan bahawa setiap kelebihannya adalah tegak lurus dengan mereka yang berkongsi puncak.

Untuk mengira panjang pepenjuru ortohedron, kita meneruskan seperti berikut:

1. Kami mengira satu pepenjuru pepenjuru, yang mana kita akan meletakkan sebagai asas. Untuk ini kami menggunakan teorem Pythagorean. Namakan pepenjuru ini d_b.

2. Kemudian dengan d_b kita boleh membentuk segitiga kanan yang baru, sehingga hipotenus segi tiga adalah diagonal D yang dicari.

3. Kami menggunakan sekali lagi teorem Pythagorean dan kami mempunyai bahawa panjang diagonal berkata:

Cara lain untuk mengira pepenjutan dengan cara yang lebih grafik ialah dengan jumlah vektor bebas.

Ingat bahawa dua vektor bebas A dan B ditambah dengan meletakkan ekor vektor B dengan ujung vektor A.

Vektor (A + B) adalah yang bermula pada ekor A dan berakhir pada hujung B.

Pertimbangkan satu parallelepiped yang kita mahu mengira pepenjuru.

Kami mengenal pasti tepi dengan vektor yang berorientasikan mudah.

Kemudian kita menambah vektor ini dan vektor yang dihasilkan akan menjadi pepenjuru paralelepiped.

Kawasan

Kawasan parallelepiped diberikan oleh jumlah setiap bahagian wajah mereka.

Jika kita menentukan salah satu sisi sebagai asas,

A_L + 2A_B = Jumlah Kawasan

Di mana A_L adalah sama dengan jumlah kawasan semua sisi bersebelahan dengan pangkalan, yang disebut kawasan sisi dan A_B adalah kawasan asas.

Bergantung pada jenis parallelepiped yang kami sedang bekerja, kami boleh menulis semula formula tersebut.

Kawasan ortohedron

Ia diberikan oleh formula

A = 2 (ab + bc + ca).

Contoh 1

Memandangkan ortohedron berikut, dengan sisi a = 6 cm, b = 8 cm dan c = 10 cm, hitung kawasan parallelepiped dan panjang pepenjuru.

Menggunakan formula untuk kawasan ortohedron kita perlu

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Perhatikan bahawa kerana ia adalah ortohedron, panjang mana-mana empat pepenjuru adalah sama.

Menggunakan teorem Pythagorean untuk ruang yang kita perlu

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Kawasan kiub

Oleh kerana setiap tepi mempunyai panjang yang sama, kita mempunyai a = b dan a = c. Penggantian dalam formula sebelumnya yang kami ada

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Contoh 2

Kotak konsol permainan mempunyai bentuk kiub. Jika kita ingin membungkus kotak ini dengan kertas hadiah, berapa banyak kertas yang akan kita belanjakan mengetahui bahawa panjang tepi kiub adalah 45 cm?

Dengan menggunakan formula kawasan kiub, kita dapati itu

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²= 12150 cm²

Kawasan rhombohedron

Oleh kerana semua muka mereka adalah sama, sudah cukup untuk mengira kawasan salah satu daripadanya dan berlipat ganda dengan enam.

Kita boleh mengira kawasan berlian menggunakan diagonal dengan formula berikut

A_R = (Dd) / 2

Menggunakan formula ini, maka jumlah kawasan rhombohedron adalah

A_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Contoh 3

Wajah rhombohedron berikut dibentuk oleh rhombus yang diagonal adalah D = 7 cm dan d = 4 cm. Kawasan anda akan menjadi

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Kawasan rombongan

Untuk mengira kawasan rhombic kita mesti mengira kawasan rhomboids yang mengarangnya. Oleh kerana parallelepipeds mematuhi harta yang pihak bertentangan mempunyai kawasan yang sama, kita boleh mengaitkan sisi dalam tiga pasang.

Dengan cara ini kita mempunyai kawasan anda

A_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Di mana b_i adalah pangkalan yang berkaitan dengan sisi dan_i ketinggian relatif sesuai dengan pangkalan tersebut.

Contoh 4

Pertimbangkan selari yang berikut,

di mana sampingan A dan sampingan A '(yang bertentangan) mempunyai asas b = 10 dan untuk ketinggian h = 6. Kawasan yang ditandakan akan mempunyai nilai

A₁ = 2 (10) (6) = 120

B dan B 'mempunyai b = 4 dan h = 6, maka

A₂ = 2 (4) (6) = 48

Dan C dan C 'mempunyai b = 10 dan h = 5, jadi

A₃ = 2 (10) (5) = 100

Akhirnya kawasan rhombohedron adalah

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Kelantangan selari

Formula yang memberikan kita jumlah parallelepiped adalah produk dari kawasan salah satu wajahnya dengan ketinggian sepadan dengan wajah tersebut.

V = A_Ch_C

Bergantung pada jenis parallelepiped formula boleh dipermudahkan.

Oleh itu, kita mempunyai contoh bahawa jumlah ortohedron akan diberikan oleh

V = abc.

Di mana a, b dan c mewakili panjang tepi orthohedron.

Dan dalam kes tertentu kiub itu

V = a³

Contoh 1

Terdapat tiga model yang berbeza untuk kotak kuki dan anda ingin tahu di mana model-model ini anda boleh menyimpan lebih banyak kuki, iaitu kotak mana yang mempunyai jumlah tertinggi.

Yang pertama ialah kiub yang kelebihannya mempunyai panjang a = 10 cm

Jumlahnya ialah V = 1000 cm³

Yang kedua mempunyai tepi b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Oleh itu, jumlahnya ialah V = 765 cm³

Dan yang ketiga mempunyai e = 9 cm, f = 9 cm dan g = 13 cm

Dan jumlahnya ialah V = 1053 cm³

Oleh itu, kotak dengan jumlah terbesar adalah yang ketiga.

Kaedah lain untuk mendapatkan isipadu parallelepiped adalah menggunakan algebra vektor. Khususnya, produk skalar triple.

Salah satu tafsiran geometri yang mempunyai produk skalar triple adalah isipadu parallelepiped, yang ujungnya adalah tiga vektor yang berkongsi puncak yang sama sebagai titik permulaan.

Dengan cara ini jika kita mempunyai parallelepiped dan kita ingin tahu jumlahnya, ia cukup untuk mewakilinya dalam sistem koordinat R³ memadankan salah satu daripada simpulnya dengan asal.

Kemudian kita mewakili tepi yang sesuai dengan asalnya dengan vektor sebagaimana ditunjukkan dalam gambar.

Dan dengan cara ini kita dapati bahawa jumlah paralelepip tersebut diberikan oleh

V = | AxB ∙ C |

Atau setara dengan isipadu ialah penentu matriks 3 × 3, dibentuk oleh komponen vektor kelebihan.

Contoh 2

Dengan mewakili selari seterusnya di R³ kita dapat melihat bahawa vektor yang menentukannya adalah berikut

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) dan w = (-0.25, -4, 4)

Menggunakan produk skalar triple yang kami ada

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Daripada ini, kita membuat kesimpulan bahawa V = 60

Sekarang pertimbangkan parallelepiped berikut di R3 yang tepinya ditentukan oleh vektor

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) dan C = (3, 4, 4)

Menggunakan penentu memberi kita itu

Oleh itu kita mempunyai bahawa jumlah yang dikatakan parallelepiped adalah 112.

Kedua-duanya adalah cara yang sama untuk mengira isipadu.

Selari sempurna

Ia dikenali sebagai bata Euler (atau blok Euler) kepada ortohedron yang memenuhi harta yang kedua-dua panjang tepi dan panjang diagonal setiap wajahnya adalah bulat.

Walaupun Euler bukan saintis pertama yang mempelajari ortikons yang memenuhi harta itu, dia mendapati hasil yang menarik tentang mereka.

Bata Euler yang lebih kecil telah ditemui oleh Paul Halcke dan panjang tepinya ialah = 44, b = 117 dan c = 240.

Masalah terbuka dalam teori nombor adalah seperti berikut

Adakah terdapat orthohedrons yang sempurna?

Pada masa ini, soalan ini tidak dapat dijawab, kerana tidak mungkin untuk membuktikan bahawa badan-badan ini tidak wujud, tetapi tidak terdapat sebarang.

Apa yang telah ditunjukkan setakat ini adalah bahawa parallelepips yang sempurna ada. Yang pertama ditemui mempunyai panjang tepinya dengan nilai 103, 106 dan 271.

Bibliografi

1. Guy, R. (1981). Masalah yang tidak dibubarkan dalam teori nombor. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometri. Kemajuan.
3. Leithold, L. (1992). PERKULANGAN dengan Geometri Analisis. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Lukisan teknik: Buku Kerja 3 2 Baccalaureate . Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fizik Vol. 1. Mexico: Continental.