Produk Cross Properties, Aplikasi dan Latihan yang Selesai



The Produk silang atau vektor produk Ini adalah cara untuk membiak dua atau lebih vektor. Terdapat tiga cara untuk membiak vektor, tetapi tidak satu pun dari ini adalah pendaraban dalam erti kata biasa. Salah satu bentuk ini dikenali sebagai produk vektor, yang menghasilkan vektor ketiga.

Produk vektor, yang juga dipanggil produk salib atau produk luaran, mempunyai ciri algebra dan geometri berbeza. Ciri-ciri ini sangat berguna, terutamanya dalam kajian fizik.

Indeks

  • 1 Definisi
  • 2 Hartanah
    • 2.1 Harta 1
    • 2.2 Hartanah 2
    • 2.3 Harta 3
    • 2.4 Harta 4 (produk skalar triple)
    • 2.5 Harta 5 (tiga produk vektor)
    • 2.6 Hartanah 6
    • 2.7 Harta 7
    • 2.8 Hartanah 8
  • 3 Aplikasi
    • 3.1 Pengiraan volum daripada parallelepiped
  • 4 Latihan diselesaikan
    • 4.1 Latihan 1
    • 4.2 Latihan 2
  • 5 Rujukan

Definisi

Satu takrifan rasmi produk vektor adalah seperti berikut: jika A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3) adalah vektor, maka produk vektor A dan B, yang menandakan sebagai AXB, adalah:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Oleh kerana notasi AxB, ia dibaca sebagai "A cross B".

Satu contoh cara menggunakan produk luaran ialah jika A = (1, 2, 3) dan B = (3, -2, 4) adalah vektor, kemudian menggunakan definisi produk vektor yang kita ada:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 *

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Cara lain untuk menyatakan produk vektor diberikan oleh notasi penentu.

Pengiraan penentu urutan kedua diberikan oleh:

Oleh itu, formula produk vektor yang diberikan dalam definisi boleh ditulis semula seperti berikut:

Ini biasanya dipermudahkan dalam penentu perintah ketiga seperti berikut:

Di mana i, j, k mewakili vektor yang membentuk asas R3.

Dengan cara ini untuk menyatakan produk salib, kami mempunyai contoh sebelumnya yang boleh ditulis semula sebagai:

Hartanah

Sesetengah sifat yang mempunyai produk vektor adalah seperti berikut:

Harta 1

Sekiranya A adalah sebarang vektor dalam R3, Kita perlu:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Ciri-ciri ini mudah diperiksa menggunakan definisi sahaja. Sekiranya A = (a1, a2, a3) kita perlu:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Jika i, j, k mewakili asas unit R3, Kita boleh menulisnya seperti berikut:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Kemudian, kita perlu memenuhi ciri-ciri berikut:

Sebagai peraturan mnemonik, untuk mengingati sifat-sifat ini, bulatan berikut biasanya digunakan:

Di sana kita harus perhatikan bahawa mana-mana vektor dengan sendirinya menghasilkan vektor 0, dan seluruh produk dapat diperoleh dengan peraturan berikut:

Produk salib dua vektor berturut-turut dalam arah jam memberi vektor berikut; dan ketika mempertimbangkan arah lawan arah, hasilnya adalah vektor berikut dengan tanda negatif.

Terima kasih kepada sifat-sifat ini, kita dapat melihat bahawa produk vektor tidak komutatif; sebagai contoh, cukup untuk dapati bahawa i x j ≠ j x i. Hartanah berikut memberitahu kami bagaimana AxB dan BxA berkaitan secara umum.

Harta 2

Sekiranya A dan B adalah vektor R3, Kita perlu:

AxB = - (BxA).

Demonstrasi

Jika A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3), dengan definisi produk luaran kita ada:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Kami juga dapat melihat bahawa produk ini tidak bersekutu dengan contoh berikut:

ix (ixj) = ixk = - j tetapi (ixi) xj = 0xj = 0

Dari sini kita dapat melihat bahawa:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Harta 3

Sekiranya A, B, C adalah vektor R3 dan r adalah nombor sebenar, berikut adalah benar:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Terima kasih kepada sifat-sifat ini kita boleh mengira produk vektor menggunakan undang-undang algebra, dengan syarat pesanan itu dihormati. Sebagai contoh:

Jika A = (1, 2, 3) dan B = (3, -2, 4), kita boleh menulis semula mereka berdasarkan asas kanun R3.

Oleh itu, A = i + 2j + 3k dan B = 3i - 2j + 4k. Kemudian, memohon hartanah terdahulu:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (IXI) - 2 (IXJ) + 4 (ixk) + 6 (JXI) - 4 (jxj) + 8 (JXK) + 9 (kxi) - 6 (kxj) 12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Harta 4 (produk skalar triple)

Sebagaimana yang kita sebutkan pada permulaan, ada cara lain untuk membiak vektor selain produk vektor. Salah satu cara ini ialah produk skalar atau produk dalaman, yang dilambangkan sebagai A ∙ B dan takrifnya ialah:

Jika A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3), maka A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Harta yang mengaitkan kedua-dua produk dikenali sebagai produk skalar triple.

Sekiranya A, B, dan C adalah vektor R3, maka A ∙ BxC = AxB ∙ C

Sebagai contoh, mari kita lihat bahawa, diberi A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) dan C = (- 5, 1, - 4), harta ini dipenuhi.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BXC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18 - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Sebaliknya:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = -

Satu lagi produk triple adalah Ax (BxC), yang dikenali sebagai produk vektor triple.

Harta 5 (produk vektor triple)

Sekiranya A, B dan C adalah vektor R3,  maka:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Sebagai contoh, mari kita lihat bahawa, diberi A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) dan C = (- 5, 1, - 4), harta ini dipenuhi.

Dari contoh sebelumnya kita tahu bahawa BxC = (- 18, - 22, 17). Mari kita kira Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Sebaliknya, kita perlu:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1 - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Oleh itu, kita perlu:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1 - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Harta 6

Ini adalah salah satu sifat geometrik vektor. Jika A dan B adalah dua vektor dalam R3 dan Θ adalah sudut yang terbentuk antara ini, maka:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), di mana || ∙ || menunjukkan modul atau magnitud vektor.

Tafsiran geometri harta ini adalah seperti berikut:

Mari A = PR dan B = PQ. Kemudian, sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B ialah sudut P bagi segitiga RQP, seperti ditunjukkan dalam angka berikut.

Oleh itu, kawasan paralelogram dengan sisi bersebelahan PR dan PQ adalah || A |||| B || sin (Θ), kerana kita boleh mengambil sebagai asas || A || dan ketinggiannya diberikan oleh || B || sin (Θ).

Kerana ini, kita dapat membuat kesimpulan bahawa || AxB || adalah kawasan paralelogram tersebut.

Contoh

Memandangkan kedudukan empat segiempat P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) dan S (5,7, -3), menunjukkan bahawa segiempat adalah sebuah jajaran paralelogram dan mencari kawasannya.

Untuk ini kita mula-mula menentukan vektor-vektor yang menentukan arah sisi-sisi segi empat. Ini adalah:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Seperti yang kita dapat lihat A dan C mempunyai pengarah vektor yang sama, yang mana kita mempunyai kedua-duanya selari; dengan cara yang sama ia berlaku dengan B dan D. Oleh itu, kami menyimpulkan bahawa PQRS adalah suatu jajaran selari.

Untuk mempunyai bidang yang dikatakan paralelogram, kita mengira BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Oleh itu, kawasan kuasa dua adalah:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Dapat disimpulkan bahawa kawasan selari akan menjadi punca kuadrat 89.

Harta 7

Dua vektor A dan B selari dalam R3 ya dan hanya jika AxB = 0

Demonstrasi

Sudah jelas bahawa jika A atau B adalah vektor null, ia mengikuti bahawa AxB = 0. Oleh kerana vektor sifar adalah sejajar dengan vektor lain, maka harta itu sah.

Sekiranya tiada satu daripada dua vektor adalah vektor sifar, kita mempunyai magnitud yang berbeza daripada sifar; iaitu, kedua-dua || A || ≠ 0 as || B || ≠ 0, jadi kita perlu || AxB || = 0 jika dan hanya jika dosa (Θ) = 0, dan ini berlaku jika dan hanya jika Θ = π atau Θ = 0.

Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan AxB = 0 jika dan hanya jika Θ = π atau Θ = 0, yang hanya berlaku apabila kedua-dua vektor selari dengan satu sama lain.

Harta 8

Jika A dan B adalah dua vektor dalam R3, maka AxB berserenjang untuk kedua-dua A dan B.

Demonstrasi

Untuk demonstrasi ini, ingat bahawa dua vektor tegak lurus jika A ∙ B sama dengan sifar. Di samping itu, kita tahu bahawa:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, tetapi AxA sama dengan 0. Oleh itu, kita perlu:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Dengan ini kita dapat membuat kesimpulan bahawa A dan AxB berserenjang antara satu sama lain. Dalam cara yang sama, kita perlu:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Sebagai BxB = 0, kita perlu:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Oleh itu, AxB dan B serenjang antara satu sama lain dan dengan ini harta itu ditunjukkan. Ini sangat berguna, kerana ia membolehkan kita menentukan persamaan pesawat.

Contoh 1

Dapatkan persamaan pesawat yang melepasi titik P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) dan R (2, 1, 3).

Let A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) dan B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Kemudian A = - i + 3j + k dan B = i - 2j + k. Untuk mencari satah yang dibentuk oleh tiga titik itu sudah cukup untuk mencari vektor yang normal kepada pesawat, iaitu AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Dengan vektor ini, dan mengambil titik P (1, 3, 2), kita dapat menentukan persamaan pesawat seperti berikut:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Oleh itu, kita mempunyai bahawa persamaan pesawat adalah 5x + 2y - z - 9 = 0.

Contoh 2

Cari persamaan satah yang mengandungi titik P (4, 0, - 2) dan yang berserenjang dengan setiap satah x - y + z = 0 dan 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Mengetahui bahawa vektor normal ke kapak pesawat + dengan + cz + d = 0 adalah (a, b, c), kita mempunyai bahawa (1, -1,1) adalah vektor normal x - y + z = 0 y 2.1, - 4) adalah vektor normal 2x + y - 4z - 5 = 0.

Oleh itu, vektor normal ke satah yang dikehendaki mesti berserenjang dengan (1, -1,1) dan a (2, 1, - 4). Kata vektor adalah:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Kemudian, kita mempunyai bahawa pesawat yang dicari adalah yang mengandungi titik P (4,0, - 2) dan mempunyai vektor (3,6,3) sebagai vektor normal.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Permohonan

Pengiraan isipadu parallelepiped

Aplikasi yang mempunyai produk skalar triple dapat mengira isipadu paralelipiped yang tepinya diberikan oleh vektor A, B dan C, seperti ditunjukkan dalam gambar:

Kita dapat menyimpulkan aplikasi ini dengan cara yang berikut: seperti yang kita katakan sebelum ini, vektor AxB adalah vektor yang normal kepada satah A dan B. Kami juga mempunyai vektor - (AxB) adalah vektor lain yang normal untuk pesawat.

Kami memilih vektor biasa yang membentuk sudut terkecil dengan vektor C; tanpa kehilangan generalisasi, biarkan AxB menjadi vektor yang sudutnya dengan C adalah yang terkecil.

Kami mempunyai kedua-dua AxB dan C mempunyai titik permulaan yang sama. Di samping itu, kita tahu bahawa kawasan dari segi rentasramma yang membentuk pangkalan parallelepiped adalah || AxB ||. Oleh itu, jika ketinggian parallelepiped diberikan oleh h, kita mempunyai kelantangannya ialah:

V = || AxB || h.

Sebaliknya, pertimbangkan produk skalar antara AxB dan C, yang boleh digambarkan seperti berikut:

Walau bagaimanapun, dengan sifat trigonometri kita mempunyai h = || C || cos (Θ), jadi kita perlu:

Dengan cara ini, kita perlu:

Secara umum, kita mempunyai bahawa isipadu parallelepiped diberikan oleh nilai mutlak produk skalar triple AxB ∙ C.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Memandangkan titik P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) dan S = (2, 6, 9), titik ini membentuk parallelepiped yang tepi mereka adalah PQ, PR dan PS. Tentukan isipadu parallelepiped tersebut.

Penyelesaian

Sekiranya kita mengambil:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Menggunakan harta produk skalar triple, kita perlu:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Oleh itu, kita mempunyai bahawa jumlah yang dikatakan parallelepiped adalah 52.

Latihan 2

Tentukan isipadu parallelepiped yang tepinya diberikan oleh A = PQ, B = PR dan C = PS, di mana titik P, Q, R dan S adalah (1, 3, 4), (3, 5, 3) (2, 1, 6) dan (2, 2, 5), masing-masing.

Penyelesaian

Pertama kita mempunyai A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Kami mengira AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Kemudian kita menghitung AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Oleh itu, kita menyimpulkan bahawa jumlah parallelepiped tersebut adalah 1 unit padu.

Rujukan

  1. Leithold, L. (1992). PERKULANGAN dengan Geometri Analisis. HARLA, S.A.
  2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fizik Vol. 1. Mexico: Continental.
  3. Saenz, J. (s.f.). Pengiraan Vektor 1ed. Hypotenuse.
  4. Spiegel, M. R. (2011). Analisis Vektor 2ed. Mc Graw Hill.
  5. Zill, D. G., & Wright, W. (2011). Pengiraan Pelbagai Pembolehubah 4ed. Mc Graw Hill.