Apakah sepupu Relatif? Ciri-ciri dan Contoh



Ia dipanggil sepupu relatif (coprim atau sepupu relatif kepada satu sama lain) kepada mana-mana sepasang integer yang tidak mempunyai pembahagi yang sama, kecuali 1.

Dalam erti kata lain, dua nombor keseluruhan adalah sepupu relatif jika dalam penguraiannya dalam bilangan prima, mereka tidak mempunyai faktor yang sama.

Sebagai contoh, jika 4 dan 25 dipilih, penguraian faktor utama masing-masing adalah 2 ² dan 5 ². Seperti yang dihargai, ini tidak mempunyai faktor yang sama, oleh itu 4 dan 25 adalah sepupu relatif.

Sebaliknya, jika 6 dan 24 dipilih, apabila menjalankan penguraiannya dalam faktor utama, kita memperoleh 6 = 2 * 3 dan 24 = 2³ * 3.

Seperti yang anda dapat lihat, kedua-dua ungkapan terakhir ini mempunyai sekurang-kurangnya satu faktor yang sama, oleh itu, mereka tidak prima relatif.

Sepupu sepupu

Satu perkara yang harus berhati-hati ialah dengan mengatakan bahawa sepasang bilangan bulat adalah bilangan prima relatif bahawa ini tidak menyiratkan bahawa mana-mana daripada mereka adalah nombor perdana.

Sebaliknya, definisi di atas boleh diringkaskan seperti berikut: dua bilangan bulat "a" dan "b" adalah bilangan primes relatif jika, dan hanya jika pembahagi umum yang paling besar adalah 1, iaitu, mcd a, b) = 1.

Dua kesimpulan segera definisi ini ialah:

-Jika "a" (atau "b") adalah nombor perdana, maka mcd (a, b) = 1.

-Jika "a" dan "b" adalah nombor utama, maka mcd (a, b) = 1.

Iaitu, jika sekurang-kurangnya salah satu daripada nombor yang dipilih adalah nombor perdana, maka secara langsung pasangan nombor adalah bilangan prima relatif.

Ciri-ciri lain

Keputusan lain yang digunakan untuk menentukan sama ada dua nombor adalah bilangan prima relatif adalah:

-Jika dua bilangan bulat berturut-turut maka ini sepupu relatif.

-Dua nombor semulajadi "a" dan "b" adalah prima relatif jika, dan hanya jika nombor "(2 ^ a) -1" dan "(2 ^ b) -1".

-Dua integer "a" dan "b" adalah bilangan prima relatif jika, dan hanya jika, dengan merancang titik (a, b) dalam satah Cartesian, dan membina garis yang melalui asal (0,0) dan (a , b), ini tidak mengandungi sebarang mata dengan koordinat keseluruhan.

Contohnya

1.- Pertimbangkan bilangan bulat 5 dan 12. Faktor utama penguraian kedua-dua nombor adalah: 5 dan 2 ² * 3 masing-masing. Sebagai kesimpulan, gcd (5,12) = 1, oleh itu, 5 dan 12 adalah bilangan prima relatif.

2.- Biarkan nombor -4 dan 6. Kemudian -4 = -2 ² dan 6 = 2 * 3, supaya LCD (-4.6) = 2 ≠ 1. Kesimpulan -4 dan 6 bukan sepupu relatif.

Jika kita meneruskan graf garis yang melewati pasangan yang diperintahkan (-4.6) dan (0.0), dan menentukan persamaan garis ini, kita boleh mengesahkan bahawa ia melewati titik (-2.3).

Sekali lagi disimpulkan bahawa -4 dan 6 bukan sepupu relatif.

3.- Angka-angka 7 dan 44 adalah bilangan prima relatif dan dapat disimpulkan dengan cepat terima kasih di atas, karena 7 adalah bilangan prima.

4.- Pertimbangkan nombor 345 dan 346. Menjadi dua nombor berturut-turut ia disahkan bahawa mcd (345,346) = 1, oleh itu 345 dan 346 adalah bilangan prima relatif.

5.- Jika nombor 147 dan 74 dipertimbangkan, ini adalah sepupu relatif, kerana 147 = 3 * 7 ² dan 74 = 2 * 37, oleh itu gcd (147.74) = 1.

6.- Nombor 4 dan 9 adalah bilangan prima relatif. Untuk menunjukkan ini, pencirian kedua yang disebutkan di atas boleh digunakan. Sebenarnya, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 dan 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Angka-angka yang diperoleh adalah 15 dan 511. Penguraian faktor utama nombor-nombor ini ialah 3 * 5 dan 7 * 73, supaya mcd (15,511) = 1.

Seperti yang anda lihat, menggunakan pencirian kedua adalah tugas yang lebih panjang dan lebih berat daripada mengesahkannya secara langsung.

7.- Pertimbangkan nombor -22 dan -27. Kemudian angka-angka ini boleh ditulis semula seperti berikut: -22 = -2 * 11 dan -27 = -3 ³. Oleh itu, gcd (-22, -27) = 1, jadi -22 dan -27 adalah prima relatif.

Rujukan

  1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Pengenalan kepada Teori Nombor. EUNED.
  2. Bourdon, P. L. (1843). Unsur aritmetik. Kedai Buku Tuan dan Anak-anak Calleja.
  3. Castañeda, S. (2016). Kursus asas dalam teori nombor. Universiti Utara.
  4. Guevara, M. H. (s.f.). The Set of Whole Numbers. EUNED.
  5. Institut Latihan Guru Tinggi (Sepanyol), J. L. (2004). Nombor, bentuk dan jumlah dalam persekitaran kanak-kanak. Kementerian Pendidikan.
  6. Palmer, C. I., & Bibb, S. F. (1979). Matematik praktikal: aritmetik, algebra, geometri, trigonometri dan peraturan slaid (cetakan semula ed.). Reverte.
  7. Rock, N. M. (2006). Aljabar Saya Mudah! Jadi Mudah. Pasukan Rock Press.
  8. Smith, S.A. (2000). Algebra. Pendidikan Pearson.
  9. Szecsei, D. (2006). Matematik Asas dan Pra-Algebra (digambarkan ed.). Akhbar Kerjaya.
  10. Toral, C., & Preciado, M. (1985). Kursus Matematik Kedua. Progresial Editorial.
  11. Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Prinsip Asas Aritmetik. ELIZCOM S.A.S.