Penjelasan teorem Bayes, aplikasi, latihan



The Teorem Bayes adalah satu prosedur yang membolehkan kita untuk menyatakan kebarangkalian bersyarat sesuatu peristiwa rawak A diberikan B, dari segi taburan kebarangkalian peristiwa B diberikan A dan pembahagian kebarangkalian hanya A.

Teorem ini sangat berguna, kerana terima kasih, kita boleh mengaitkan kebarangkalian bahawa kejadian A berlaku mengetahui bahawa B berlaku, dengan kebarangkalian kebalikannya terjadi, iaitu, bahawa B terjadi diberikan A.

Teorem Bayes adalah cadangan perak oleh Reverend Thomas Bayes, seorang ahli teologi Inggeris abad ke-18 yang juga seorang ahli matematik. Beliau adalah pengarang beberapa karya dalam teologi, tetapi kini dikenali dengan beberapa makalah matematik, di mana Teorem Bayes yang disebutkan itu sebagai hasil utama..

Bayes membincangkan teorem ini dalam karya bertajuk "Satu Penulisan Esai untuk Menyelesaikan Masalah dalam Doktrin Kemungkinan" yang diterbitkan pada tahun 1763, dan di mana karya besar telah dikembangkan untuk menyelesaikan masalah dalam doktrin kemungkinan. Kajian dengan aplikasi dalam pelbagai bidang pengetahuan.

Indeks

  • 1 Penjelasan
  • 2 Aplikasi Bayes Teorem
    • 2.1 Latihan Yang Terselesaikan
  • 3 Rujukan

Penjelasan

Pertama, untuk memahami lebih lanjut mengenai teorem ini, beberapa teori asas teori kebarangkalian diperlukan, terutamanya teorem pendaraban untuk kebarangkalian bersyarat, yang menyatakan bahawa

Untuk E dan peristiwa sewenang-wenang dari ruang sampel S.

Dan definisi partisi, yang memberitahu kita bahawa jika kita mempunyai A1 ,A2,..., An peristiwa ruang sampel S, ini akan membentuk sekatan S, jika Ai mereka saling eksklusif dan kesatuan mereka adalah S.

Memiliki ini, biarkan B menjadi satu lagi peristiwa. Kemudian kita dapat melihat B sebagai

Di mana Ai berpotongan dengan B adalah peristiwa eksklusif yang saling berkaitan.

Dan akibatnya,

Kemudian, gunakan teorem pendaraban

Sebaliknya, kebarangkalian bersyarat Ai diberikan B ditakrifkan oleh

Menggantikan dengan secukupnya kami perlu untuk mana-mana i

Permohonan Teorema Bayes

Terima kasih kepada hasil ini, kumpulan penyelidikan dan pelbagai syarikat telah berjaya memperbaiki sistem yang berdasarkan pengetahuan.

Sebagai contoh, dalam kajian penyakit, teorema Bayes boleh membantu untuk membezakan kebarangkalian bahawa penyakit akan dijumpai dalam sekumpulan orang dengan ciri tertentu, mengambil data sebagai kadar global penyakit dan dominasi ciri-ciri tersebut dalam orang yang sihat dan sakit.

Sebaliknya, di dunia teknologi tinggi, telah mempengaruhi syarikat-syarikat besar yang telah berkembang, terima kasih kepada hasil ini, perisian "Berdasarkan Pengetahuan".

Sebagai contoh sehari-hari kita mempunyai pembantu Microsoft Office. Teorem Bayes membantu perisian untuk menilai masalah yang dibentangkan oleh pengguna dan menentukan nasihat yang disediakan dan dengan itu dapat menawarkan perkhidmatan yang lebih baik mengikut kebiasaan pengguna.

Harus diingat bahawa formula ini telah diabaikan sehingga saat ini, ini disebabkan oleh hakikat bahawa apabila hasil ini telah dikembangkan 200 tahun yang lalu, terdapat sedikit penggunaan praktikal untuk mereka. Walau bagaimanapun, pada zaman kita, terima kasih kepada kemajuan teknologi yang hebat, saintis telah mencapai cara untuk meletakkan hasil ini menjadi praktik.

Latihan yang telah diselesaikan

Latihan 1

Sebuah syarikat selular mempunyai dua mesin A dan B. 54% dari telefon yang dihasilkan dibuat oleh mesin A dan selebihnya oleh mesin B. Tidak semua telefon yang dihasilkan dalam keadaan baik.

Perkadaran telefon bimbit yang rosak dibuat oleh A ialah 0.2 dan oleh B ialah 0.5. Apakah kebarangkalian bahawa telefon bimbit kilang tersebut rosak? Apakah kebarangkalian bahawa, mengetahui bahawa telefon bimbit rosak, berasal dari mesin A?

Penyelesaian

Di sini, anda mempunyai eksperimen yang dilakukan dalam dua bahagian; pada bahagian pertama kejadian berlaku:

A: telefon bimbit yang dibuat oleh mesin A.

B: telefon bimbit yang dibuat oleh mesin B.

Memandangkan mesin A menghasilkan 54% telefon bimbit dan selebihnya dihasilkan oleh mesin B, mesin B menghasilkan 46% telefon bimbit. Kebarangkalian peristiwa ini diberikan, iaitu:

P (A) = 0.54.

P (B) = 0.46.

Peristiwa bahagian kedua eksperimen adalah:

D: sel yang rosak.

E: sel tidak rosak.

Seperti yang dinyatakan dalam kenyataan, kebarangkalian peristiwa ini bergantung kepada hasil yang diperoleh di bahagian pertama:

P (D | A) = 0.2.

P (D | B) = 0.5.

Dengan menggunakan nilai-nilai ini, anda juga boleh menentukan kebarangkalian pelengkap peristiwa-peristiwa ini, iaitu:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0.2

= 0.8

dan

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0.5

= 0.5.

Kini, peristiwa D boleh ditulis seperti berikut:

Menggunakan teorem pendaraban untuk kebarangkalian bersyarat, ia menyebabkan:

Dengan mana soalan pertama dijawab.

Sekarang kita hanya perlu mengira P (A | D), yang Teorem Bayes terpakai:

Terima kasih kepada Teorema Bayes, boleh dikatakan bahawa kebarangkalian bahawa telefon bimbit dibuat oleh mesin A, mengetahui bahawa ponsel itu cacat, adalah 0.319.

Latihan 2

Tiga kotak mengandungi bola putih dan hitam. Komposisi masing-masing adalah seperti berikut: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

Salah satu kotak dipilih secara rawak dan bola rawak diekstrak darinya, yang ternyata putih. Mana kotak yang paling mungkin telah dipilih?

Penyelesaian

Melalui U1, U2 dan U3, kami juga akan mewakili kotak yang dipilih.

Peristiwa-peristiwa ini merupakan partisi S dan ia disahkan bahawa P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 sejak pilihan kotak adalah rawak.

Jika B = bola diekstrak putih, kita akan mempunyai P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

Apa yang kita mahu dapatkan ialah kebarangkalian bola itu diambil dari kotak Ui mengetahui bahawa bola itu putih, yaitu, P (Ui | B), dan melihat mana dari tiga nilai itu yang paling tinggi untuk mengetahui kotak telah kemungkinan besar pengekstrakan bola putih.

Menerapkan teorem Bayes ke kotak pertama:

Dan untuk yang lain dua:

P (U2 | B) = 2/6 dan P (U3 | B) = 1/6.

Kemudian, kotak pertama adalah yang mempunyai kebarangkalian yang lebih tinggi dipilih untuk pengekstrakan bola putih.

Rujukan

  1. Kai Lai Chung Teori Keberkesanan Elemen dengan Proses Stokastik. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen Matematik Diskret dan Aplikasinya. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Kebarangkalian dan Aplikasi Statistik. S.A. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Matematik Diskrit Memecahkan Masalah. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori dan Masalah Kebarangkalian. McGRAW-HILL.