Definisi Laplace yang diubah, sejarah, apa untuknya, sifat-sifatnya



The berubah dari Laplace telah dalam tahun-tahun kebelakangan amat penting dalam pengajian kejuruteraan, matematik, fizik, antara bidang saintifik yang lain, serta sebagai kepentingan besar dalam teori, menyediakan cara yang mudah untuk menyelesaikan masalah yang datang daripada sains dan kejuruteraan.

Pada asalnya, transformasi Laplace dibentangkan oleh Pierre-Simon Laplace dalam kajiannya tentang teori kebarangkalian dan pada mulanya dianggap sebagai objek matematik hanya kepentingan teoritis.

Aplikasi semasa timbul apabila pelbagai ahli matematik cuba memberikan justifikasi rasmi kepada "peraturan operasi" yang digunakan oleh Heaviside dalam kajian persamaan teori elektromagnetik.

Indeks

  • 1 Definisi
    • 1.1 Contoh
    • 1.2 Teorem (Keadaan yang mencukupi untuk kewujudan)
    • 1.3 Laplace mengubah beberapa fungsi asas
  • 2 Sejarah
    • 2.1 1782, Laplace
    • 2.2 Oliver Heaviside
  • 3 Hartanah
    • 3.1 Linearity
    • 3.2 Teorem terjemahan pertama
    • 3.3 Teorem terjemahan kedua
    • 3.4 Perubahan skala
    • 3.5 ransformation of Laplace of derivatives
    • 3.6 Laplace transform integrals
    • 3.7 Pendaraban oleh tn
    • 3.8 Bahagian oleh t
    • 3.9 Fungsi berkala
    • 3.10 Kelakuan F (s) apabila s cenderung tak terhingga
  • Transformasi songsang
    • 4.1 Latihan
  • 5 Aplikasi Transformasi Laplace
    • Persamaan pembezaan
    • 5.2 Sistem persamaan kebezaan
    • 5.3 Mekanik dan litar elektrik
  • 6 Rujukan

Definisi

Let f menjadi fungsi yang ditakrifkan untuk t ≥ 0. Transformasi Laplace ditakrifkan sebagai berikut:

Dikatakan bahawa Laplace Transform wujud jika integral sebelumnya menumpu, jika tidak dikatakan bahawa perubahan Laplace tidak wujud.

Secara umum, untuk menunjukkan fungsi yang ingin diubah, huruf kecil digunakan dan huruf besar sepadan dengan transformasinya. Dengan cara ini kita akan mempunyai:

Contohnya

Pertimbangkan fungsi malar f (t) = 1. Kita mempunyai transformasinya ialah:

Bila-bila masa integral menumpu, itu sentiasa disediakan bahawa s> 0. Jika tidak, s < 0, la integral diverge.

Katakan g (t) = t. Transformasi Laplace anda diberikan oleh

Dengan mengintegrasikan oleh bahagian-bahagian dan mengetahui bahawa anda-st ia cenderung kepada 0 apabila t cenderung ke infiniti dan s> 0, bersama-sama dengan contoh terdahulu yang kita ada itu:

Transformasi mungkin atau mungkin tidak wujud, contohnya untuk fungsi f (t) = 1 / t integral yang mendefinisikan transformasi Laplace tidak berkumpul dan oleh itu transformasinya tidak wujud.

Keadaan yang mencukupi untuk memastikan bahawa transformasi Laplace bagi fungsi f wujud, ialah f berterusan di bahagian untuk t ≥ 0 dan merupakan perintah eksponen.

Dikatakan bahawa fungsi adalah berterusan di bahagian-bahagian untuk t ≥ 0, apabila untuk mana-mana selang [a, b] dengan> 0, terdapat sejumlah titik tk, di mana f mempunyai ketiadaan dan berterusan dalam setiap subinterval [tk-1,tk].

Sebaliknya, dikatakan bahawa suatu fungsi adalah perintah eksponen c jika terdapat pemalar sebenar M> 0, c dan T> 0 yang demikian:

Sebagai contoh, kita mempunyai f (t) = t2 adalah perintah eksponen, kerana | t2| < e3t untuk semua t> 0.

Secara formal kita mempunyai teorem berikut

Teorem (Keadaan yang mencukupi untuk kewujudan)

Jika f adalah fungsi berterusan bagi setiap bahagian untuk t> 0 dan perintah eksponen c, maka terdapat transformasi Laplace untuk s> c.

Adalah penting untuk menyerlahkan bahawa ini adalah keadaan kecukupan, iaitu, ia mungkin berlaku bahawa terdapat fungsi yang tidak memenuhi syarat-syarat ini dan bahkan kemudiannya Laplace transform wujud.

Contohnya ialah fungsi f (t) = t-1/2 yang tidak berterusan di bahagian untuk t ≥ 0 tetapi perubahan Laplace wujud.

Laplace mengubah beberapa fungsi asas

Jadual berikut menunjukkan transformasi Laplace bagi fungsi yang paling biasa.

Sejarah

Jelmaan Laplace dinamakan selepas Pierre-Simon Laplace, ahli matematik Perancis dan ahli astronomi teori yang dilahirkan pada 1749 dan meninggal dunia pada tahun 1827. kemasyhuran tahun beliau adalah seperti yang beliau dikenali sebagai Newton Perancis.

Pada tahun 1744 Leonard Euler menumpukan pengajiannya kepada integral dengan bentuknya

sebagai penyelesaian persamaan pembezaan biasa, tetapi dengan cepat meninggalkan penyiasatan ini. Kemudian, Joseph Louis Lagrange, yang sangat mengagumi Euler, juga menyelidik jenis integral ini dan menghubungkan mereka dengan teori kebarangkalian.

1782, Laplace

Pada tahun 1782 mula belajar kamiran Laplace seperti penyelesaian kebezaan persamaan dan menurut ahli sejarah, pada tahun 1785 beliau mengambil keputusan untuk merumuskan masalah, yang kemudian melahirkan Laplace mengubah seperti yang difahami hari ini.

Setelah diperkenalkan ke dalam bidang teori kebarangkalian, ia tidak begitu menarik minat saintis pada masa itu dan hanya dilihat sebagai objek matematik kepentingan teoritis sahaja.

Oliver Heaviside

Ia adalah pada pertengahan abad kesembilan belas apabila jurutera Inggeris Oliver Heaviside mendapati bahawa operator pembezaan boleh dianggap sebagai pembolehubah algebra, sehingga memberikan aplikasi moden mereka kepada transformasi Laplace.

Oliver Heaviside adalah seorang ahli fizik, jurutera elektrik dan ahli matematik Inggeris dilahirkan pada tahun 1850 dan meninggal dunia di London pada tahun 1925. Walaupun cuba untuk menyelesaikan persamaan pembezaan digunakan untuk teori getaran dan kajian menggunakan Laplace, mula membentuk aplikasi moden bagi perubahan Laplace.

Hasil yang dipamerkan oleh Heaviside menyebar dengan pesat ke seluruh masyarakat saintifik pada masa itu, tetapi kerana kerjanya tidak ketat ia dengan cepat dikritik oleh ahli matematik yang lebih tradisional.

Walau bagaimanapun, kegunaan kerja Heaviside dalam menyelesaikan persamaan fizik membuat kaedahnya popular dengan ahli fizik dan jurutera.

Walaupun terdapat kemunduran dan selepas beberapa dekad percubaan gagal, pada permulaan abad ke-20 suatu justifikasi yang ketat terhadap peraturan operasi yang diberikan oleh Heaviside dapat diberikan..

Percubaan-percubaan ini dibuahi terima kasih atas usaha para ahli matematik yang pelbagai seperti Bromwich, Carson, van der Pol, dan lain-lain..

Hartanah

Antara ciri-ciri transformasi Laplace, yang menonjol ialah:

Linearity

Biarkan c1 dan c2 menjadi pemalar dan fungsi f (t) dan g (t) yang masing-masing transformasi Laplace adalah F (s) dan G (s), maka kita perlu:

Oleh kerana harta ini dikatakan bahawa transformasi Laplace adalah pengendali linier.

Contoh

Teorem terjemahan pertama

Sekiranya berlaku:

Dan 'a' adalah sebarang nombor nyata, maka:

Contoh

Sebagai transform Laplace cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) maka:

Teorem terjemahan kedua

Ya

Kemudian

Contoh

Jika f (t) = t ^ 3, maka F (s) = 6 / s ^ 4. Oleh itu, transformasi

adalah G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Perubahan skala

Ya

Dan 'a' adalah bukan sifar sebenar, kita perlu

Contoh

Oleh kerana transformasi f (t) = sin (t) ialah F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) ia harus

ransformation of Laplace derivatif

Jika f, f ', f ", ..., f(n) adalah berterusan untuk t ≥ 0 dan adalah perintah eksponen dan f(n)(t) berterusan di bahagian untuk t ≥ 0, kemudian

Transformasi Laplace integral

Ya

Kemudian

Pendaraban oleh tn

Sekiranya kita perlu

Kemudian

Bahagian oleh t

Sekiranya kita perlu

Kemudian

Fungsi berkala

Biarkan f menjadi fungsi berkala dengan tempoh T> 0, iaitu, f (t + T) = f (t), maka

Perilaku F (s) apabila s cenderung tak terbatas

Jika f adalah berterusan di bahagian dan perintah eksponen dan

Kemudian

Transformasi songsang

Apabila kita menerapkan transformasi Laplace kepada fungsi f (t) kita memperoleh F (s), yang mewakili transform tersebut. Dengan cara yang sama kita boleh mengatakan bahawa f (t) adalah transformasi Laplace terbalik F (s) dan ditulis sebagai

Kita tahu bahawa transformasi Laplace dari f (t) = 1 dan g (t) = t ialah F (s) = 1 / s dan G (s) = 1 / s2 oleh itu, kita perlu

Beberapa transformasi Laplace terbalik adalah seperti berikut

Di samping itu, transformasi Laplace terbalik adalah linear, iaitu, ia telah dipenuhi

Latihan

Cari

Untuk menyelesaikan latihan ini, kita mesti memadankan fungsi F (s) dengan salah satu jadual sebelumnya. Dalam kes ini, jika kita mengambil n + 1 = 5 dan menggunakan sifat lineariti dari transformasi songsang, kita darab dan membahagi dengan 4! Mendapatkan

Bagi transformasi songsang kedua, kami menggunakan pecahan separa untuk menulis semula fungsi F (s) dan kemudian sifat linear, mendapatkan

Seperti yang dapat kita lihat dari contoh-contoh ini adalah umum bahawa fungsi F (yang) yang dinilai tidak sepadan dengan mana-mana fungsi yang diberikan dalam jadual. Untuk kes-kes ini, seperti yang diperhatikan, sudah cukup untuk menulis semula fungsi itu sehingga mencapai bentuk yang sesuai.

Permohonan transformasi Laplace

Persamaan pembezaan

Aplikasi utama transformasi Laplace adalah menyelesaikan persamaan kebezaan.

Menggunakan harta transformasi terbitan adalah jelas bahawa

Dan derivatif n-1 dinilai pada t = 0.

Harta ini membuat transformasi ini sangat berguna untuk menyelesaikan masalah nilai awal di mana persamaan pembezaan dengan pekali malar terlibat.

Contoh berikut menunjukkan cara menggunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan pembezaan.

Contoh 1

Memandangkan masalah nilai permulaan yang berikut

Gunakan transformasi Laplace untuk mencari penyelesaian.

Kami menggunakan transformasi Laplace untuk setiap ahli persamaan kebezaan

Untuk harta transformasi derivatif yang kita ada

Dengan mengembangkan semua ungkapan dan penjelasan Dan (s) kita dibiarkan

Menggunakan pecahan separa untuk menulis semula sebelah kanan persamaan yang kita perolehi

Akhir sekali, matlamat kami adalah untuk mencari fungsi y (t) yang memenuhi persamaan pembezaan. Menggunakan transformasi Laplace terbalik memberi kita hasilnya

Contoh 2

Selesaikan

Seperti dalam kes terdahulu, kami menggunakan transformasi di kedua-dua belah persamaan dan istilah berasingan mengikut terma.

Dengan cara ini kita mempunyai hasilnya

Penggantian dengan nilai permulaan dan penjelasan Y (s)

Menggunakan pecahan mudah kita boleh menulis semula persamaan seperti berikut

Dan menerapkan transformasi songsang Laplace memberikan kita hasilnya

Dalam contoh-contoh ini seseorang boleh sampai pada kesimpulan yang salah bahawa kaedah ini tidak jauh lebih baik daripada kaedah tradisional untuk menyelesaikan persamaan pembezaan.

Kelebihan yang ditawarkan oleh transformasi Laplace ialah tidak perlu menggunakan variasi parameter atau bimbang tentang pelbagai kes kaedah koefisien yang tidak ditentukan.

Selain daripada menyelesaikan masalah permulaan nilai dengan kaedah ini, dari awal kita menggunakan syarat awal, jadi tidak perlu melakukan perhitungan lain untuk mencari penyelesaian tertentu.

Sistem persamaan pembezaan

Transformasi Laplace juga boleh digunakan untuk mencari penyelesaian kepada persamaan pembezaan biasa serentak, seperti contoh berikut menunjukkan.

Contoh

Selesaikan

Dengan syarat awal x (0) = 8 e dan (0) = 3.

Sekiranya kita perlu

Kemudian

Menyelesaikan keputusan dalam diri kita

Dan apabila menggunakan transformasi terbalik Laplace kita ada

Mekanik dan litar elektrik

Transformasi Laplace sangat penting dalam fizik, terutamanya mempunyai aplikasi untuk litar mekanikal dan elektrik.

Litar elektrik mudah terdiri daripada elemen berikut

Suis, bateri atau sumber, induktor, perintang dan kapasitor. Apabila suis ditutup, arus elektrik dihasilkan yang dilambangkan oleh i (t). Caj kapasitor dilambangkan oleh q (t).

Dengan undang-undang kedua Kirchhoff, voltan yang dihasilkan oleh sumber E ke litar tertutup harus sama dengan jumlah setiap kejatuhan voltan.

Arus elektrik i (t) adalah berkaitan dengan cas q (t) dalam kapasitor dengan i = dq / dt. Sebaliknya, kejatuhan voltan ditakrifkan dalam setiap elemen seperti berikut:

Penurunan voltan dalam perintang adalah iR = R (dq / dt)

Penurunan voltan dalam induktor adalah L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Penurunan voltan dalam kapasitor adalah q / C

Dengan data ini dan menggunakan undang-undang Kirchhoff kedua ke litar mudah tertutup, persamaan kebezaan pesanan kedua diperolehi yang menerangkan sistem dan membolehkan kita menentukan nilai q (t).

Contoh

Induktor, kapasitor dan perintang disambungkan ke bateri E, seperti ditunjukkan dalam gambar. Induktor adalah 2 henries, kapasitor 0.02 farads dan rintangan 16 onhm. Pada masa t = 0 litar ditutup. Cari beban dan arus pada bila-bila masa t> 0 jika E = 300 volt.

Kita mempunyai persamaan pembezaan yang menggambarkan litar ini adalah berikut

Jika keadaan awal adalah q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Menerapkan transformasi Laplace yang kita dapati itu

Dan membersihkan Q (t)

Kemudian, gunakan transformasi Laplace terbalik yang kami ada

Rujukan

  1. G. Holbrook, J. (1987). Transformasi Laplace untuk jurutera elektronik. Lime.
  2. Ruiz, L. M., & Hernandez, M. P. (2006). Persamaan pembezaan dan transformasi Laplace dengan aplikasi. Editorial UPV.
  3. Simmons, G. F. (1993). Persamaan pembezaan dengan aplikasi dan nota sejarah. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, M. R. (1991). Laplace Transforms. McGraw-Hill.
  5. Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2008). Persamaan pembezaan dengan masalah nilai di sempadan. Editor Pembelajaran Cengage, S.A..