Ciri kaedah aksiomatik, langkah, contoh

The kaedah aksiomatik atau juga dikenali sebagai aksiom adalah satu prosedur formal yang digunakan oleh sains di mana dirumuskan kenyataan atau cadangan dipanggil aksiom, yang berkaitan dengan nisbah derivability dan adalah asas andaian atau syarat-syarat suatu sistem tertentu.

Takrif umum ini mesti dibingkai dalam evolusi yang telah dipelajari sepanjang sejarah ini. Pertama, terdapat kaedah kuno atau kandungan, yang lahir di Yunani Kuno dari Euclid dan kemudiannya dikembangkan oleh Aristotle.

Kedua, sudah pada abad kesembilan belas, penampilan geometri dengan aksioma berbeza dari yang Euclid. Dan akhirnya, kaedah aksiomatik formal atau moden, yang paling tinggi ialah David Hilbert.

Di luar perkembangannya dari masa ke masa, prosedur ini telah menjadi asas kaedah deduktif yang digunakan dalam geometri dan logik di mana ia berasal. Ia juga telah digunakan dalam fizik, kimia dan biologi.

Dan ia bahkan telah digunakan untuk sains undang-undang, sosiologi dan ekonomi politik. Walau bagaimanapun, pada masa ini, bidang aplikasi yang paling penting adalah matematik dan logik simbolik dan beberapa cabang fizik seperti termodinamik, mekanik, antara disiplin lain.

Indeks

• 1 Ciri-ciri 
  • 1.1 Kaedah atau kandungan aksiomatik lama 
  • 1.2 Kaedah axiomatik bukan Euclidean
  • 1.3 Kaedah axiomatik moden atau formal
• 2 Langkah 
• 3 Contoh
• 4 Rujukan

Ciri-ciri

Walaupun ciri asas kaedah ini adalah perumusan aksioma, ini tidak selalu dipertimbangkan dengan cara yang sama.

Terdapat beberapa yang boleh ditakrifkan dan dibina secara sewenang-wenang. Dan yang lain, menurut model di mana kebenarannya dijamin secara intuitif dipertimbangkan.

Untuk memahami secara khusus apa perbezaan ini terdiri daripada dan akibatnya, adalah perlu untuk mengkaji evolusi kaedah ini.

Kaedah atau kandungan aksiomatik lama 

Ia adalah yang ditubuhkan di Yunani Purba sekitar abad ke-5 SM. Bidang aplikasinya adalah geometri. Kerja asas tahap ini adalah Elemen Euclid, walaupun dianggap bahawa sebelum dia, Pythagoras, telah melahirkan kaedah aksiomatik.

Oleh itu, orang Yunani mengambil fakta tertentu sebagai aksioma, tanpa memerlukan sebarang bukti logik, iaitu, tanpa memerlukan demonstrasi, kerana bagi mereka ia adalah kebenaran yang jelas.

Untuk bahagiannya Euclides membentangkan lima aksioma untuk geometri:

1-Mengikut dua mata terdapat garis yang berisi atau menghubungkannya.

Segmen apa pun boleh diteruskan secara berterusan pada garisan tanpa had di kedua-dua pihak.

3-Anda boleh menarik bulatan yang mempunyai pusat di mana-mana titik dan mana-mana jejari.

Sudut 4-kanan adalah sama.

5-Mengambil apa-apa garis lurus dan mana-mana titik yang tidak ada di dalamnya, ada garis lurus selari dengan itu dan yang mengandungi titik itu. Aksioma ini diketahui, kemudian, sebagai aksiom dari paralel dan telah dinyatakan juga sebagai: oleh titik di luar garis boleh ditarik satu paralel tunggal.

Walau bagaimanapun, kedua-dua Euclid dan ahli matematik kemudian bersetuju bahawa aksiom kelima tidak begitu intuitif jelas sebagai 4. lain Malah semasa Renaissance cuba untuk menyimpulkan kelima 4 lain, tetapi ia tidak mungkin.

Ini dibuat pada abad kesembilan belas, yang mengekalkan lima adalah penyokong geometri Euclid dan mereka yang menolak yang kelima, sesiapa yang dicipta geometri bukan Euclid.

Kaedah axiomatik bukan Euclidean

Ia adalah tepat Nikolai Ivanovich Lobachevsky, Bolyai János dan Johann Karl Friedrich Gauss yang melihat kemungkinan bangunan, tanpa percanggahan, geometri yang datang daripada sistem selain daripada yang aksiom Euclid. Ini memusnahkan kepercayaan kepada kebenaran mutlak atau a priori aksiom dan teori yang diperolehi daripada mereka.

Oleh itu, aksioma mula dikandung sebagai titik permulaan teori tertentu. Juga pilihan mereka dan masalah kesahihan mereka dalam satu cara atau yang lain, mula berkaitan dengan fakta-fakta di luar teori axiomatik.

Dengan cara ini muncul teori geometrik, aljabar dan aritmetik yang dibina dengan cara kaedah axiomatik.

Tahap ini memuncak dengan penciptaan sistem aksiomatik untuk aritmetik seperti Giuseppe Peano pada tahun 1891; geometri David Hubert pada tahun 1899; pernyataan dan penghitungan predikat Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell, di England pada tahun 1910; teori axiomatik dari set Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo pada tahun 1908.

Kaedah axiomatik moden atau formal

Ia adalah David Hubert yang memulakan konsep tentang kaedah axiomatic formal dan yang membawa kepada kemuncaknya, David Hilbert.

Sebenarnya Hilbert yang menormalkan bahasa saintifik, mengingat pernyataannya sebagai rumus atau urutan tanda yang tidak mempunyai makna dalam diri mereka sendiri. Mereka hanya memperoleh makna dalam tafsiran tertentu.

Dalam "Asas geometri"Menjelaskan contoh pertama metodologi ini. Dari sini geometri menjadi sains kesan logik tulen, yang diekstrak daripada sistem hipotesis atau aksioma, lebih baik daripada sistem Euclidean.

Ini adalah kerana dalam sistem lama teori axiomatik adalah berdasarkan bukti aksiom. Walaupun asas teori formal diberikan oleh demonstrasi yang tidak bertentangan dengan aksiomnya.

Langkah-langkah

Prosedur yang menjalankan penstrukturan axiomatik dalam teori saintifik mengakui:

a-pilihan beberapa aksioma tertentu, iaitu, beberapa cadangan teori tertentu yang diterima tanpa perlu dibuktikan.

b - konsep yang menjadi sebahagian daripada proposisi ini tidak ditentukan dalam rangka teori yang diberikan.

c - peraturan definisi dan pemotongan teori yang diberikan tetap dan membenarkan memperkenalkan konsep-konsep baru dalam teori dan secara logik menyimpulkan beberapa proposisi dari yang lain.

d-proposisi lain dari teori, iaitu, teorem, disimpulkan daripada yang berdasarkan c.

Contohnya

Kaedah ini boleh disahkan melalui demonstrasi dua teorem Euclid yang paling terkenal: teorem kaki dan teorema ketinggian..

Kedua-duanya timbul daripada pemerhatian geometer Yunani ini bahawa apabila ketinggian itu diplotkan berkenaan dengan hipotenus dalam segitiga yang betul, dua segitiga kelihatan lebih daripada yang asal. Segitiga ini serupa antara satu sama lain dan pada masa yang sama sama dengan segitiga asal. Ini mengandaikan bahawa bahagian homolog mereka masing-masing berkadar.

Ia boleh dilihat bahawa segi tiga sudut yang kongruen dengan itu mengesahkan persamaan antara tiga segi tiga yang terlibat berdasarkan kepada sifat persamaan AAA. Kriteria ini memegang bahawa apabila dua segitiga mempunyai semua sudut sama mereka sama.

Sebaik sahaja segitiga ditunjukkan sama, bahagian yang ditentukan dalam teorem pertama boleh ditubuhkan. Ia menyatakan bahawa dalam segitiga yang betul, pengukuran setiap cathetus adalah purata berkadar geometri antara hipotenus dan ramalan cathetus di dalamnya..

Teorema kedua adalah ketinggian. Ia menyatakan bahawa mana-mana segi tiga tepat yang disediakan mengikut hipotenus adalah berkadar min geometri antara segmen ditentukan oleh min seperti geometri hipotenus.

Sudah tentu kedua-dua teori mempunyai banyak aplikasi di seluruh dunia bukan sahaja dalam bidang pendidikan, tetapi juga dalam kejuruteraan, fizik, kimia dan astronomi.

Rujukan

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometri, formalisme dan intuisi: David Hilbert dan kaedah formal axiomatic (1895-1905). Majalah Falsafah, Vol. 39 No 2, ms.121-146. Diambil dari revistas.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) pemikiran Axiomatic. Dalam editor W.Ewald, dari Kant ke Hilbert: sebuah buku sumber dalam asas matematik. Jilid II, ms 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Apakah kaedah axiomatik? Synthese, November 2011, kelantangan 189, ms.69-85. Diambil dari link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Pengenalan Falsafah Undang-undang Kontemporari. (hl.48-49). Diambil dari books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Kaedah Axiomatik, dengan membaca oleh Ricardo Nirenberg, Kejatuhan 1996, Universiti di Albany, Projek Renaissance. Diambil dari Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert antara sisi formal dan tidak formal Matematik. Manuskrip vol. 38 tidak. 2, Campinas Julai / Ogos 2015. Diambil dari scielo.br.