Pengagihan ciri-ciri Probabiliti Diskret dan Latihan



The Distribusi kebarangkalian diskret adalah fungsi yang menyerahkan kepada setiap elemen X (S) = x1, x2, ..., xi, ..., di mana X adalah pemboleh ubah rawak diskret dan S ialah ruang sampel, kebarangkalian yang mengatakan peristiwa akan berlaku. Fungsi f dari X (S) yang ditakrifkan sebagai f (xi) = P (X = xi) kadang-kadang dipanggil fungsi jisim kebarangkalian.

Massa kebarangkalian ini biasanya diwakili sebagai jadual. Oleh kerana X adalah pemboleh ubah rawak diskret, X (S) mempunyai bilangan peristiwa yang terhingga atau tak terhitung jumlahnya. Di antara taburan kebarangkalian diskret yang paling biasa kita mempunyai taburan seragam, taburan binomial dan taburan Poisson.

Indeks

  • 1 Ciri-ciri
  • 2 Jenis
    • 2.1 Pengagihan seragam ke atas n titik
    • 2.2 Pengedaran binomial
    • 2.3 Pengagihan Poisson
    • 2.4 Pengagihan hypergeometric
  • 3 Latihan diselesaikan
    • 3.1 Latihan pertama
    • 3.2 Latihan kedua
    • 3.3 Latihan Ketiga
    • 3.4 Latihan Ketiga
  • 4 Rujukan

Ciri-ciri

Fungsi taburan kebarangkalian mesti memenuhi syarat-syarat berikut:

Juga, jika X hanya mengambil sejumlah nilai yang terhingga (contohnya x1, x2, ..., xn), maka p (xi) = 0 jika i> ny, oleh itu, siri tak terhingga keadaan b menjadi siri terhingga.

Fungsi ini juga memenuhi sifat berikut:

Biarkan B menjadi peristiwa yang dikaitkan dengan pemboleh ubah rawak X. Ini bermakna bahawa B terkandung dalam X (S). Khususnya, katakan bahawa B = xi1, xi2, .... Oleh itu:

Dengan kata lain: kebarangkalian peristiwa B adalah sama dengan jumlah kebarangkalian hasil individu yang berkaitan dengan B.

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahawa jika a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

Jenis

Pengagihan seragam ke atas n mata

Dikatakan bahawa pemboleh ubah rawak X mengikuti pengedaran yang dicirikan dengan menjadi seragam dalam n titik jika setiap nilai diberikan kebarangkalian yang sama. Fungsi jisim kebarangkaliannya ialah:

Katakan kita mempunyai eksperimen yang mempunyai dua hasil yang mungkin, ia boleh melambungkan duit syiling yang hasilnya mungkin adalah muka atau setem, atau pilihan bilangan keseluruhan yang hasilnya boleh menjadi bilangan atau nombor ganjil; jenis percubaan ini dikenali sebagai ujian Bernoulli.

Secara umum, dua hasil yang mungkin disebut kejayaan dan kegagalan, di mana p ialah kebarangkalian kejayaan dan kegagalan 1-p. Kita boleh menentukan kebarangkalian x kejayaan dalam ujian n Bernoulli yang bebas dari satu sama lain dengan pengedaran berikut.

Pengedaran binomial

Ia adalah fungsi yang mewakili kebarangkalian memperoleh kejayaan x dalam ujian Bernoulli bebas, yang kebarangkalian kejayaannya adalah p. Fungsi jisim kebarangkaliannya ialah:

Grafik berikut mewakili jisim fungsi kebarangkalian bagi nilai-nilai yang berlainan bagi parameter taburan binomial.

Pengedaran berikut mempunyai namanya kepada ahli matematik Perancis Simeon Poisson (1781-1840), yang memperolehnya sebagai had taburan binomial..

Pengagihan Poisson

Dikatakan bahawa pemboleh ubah rawak X mempunyai taburan parameter Poisson λ apabila ia dapat mengambil nilai integer positif 0,1,2,3, ... dengan kebarangkalian berikut:

Dalam ungkapan ini λ adalah nombor purata sepadan dengan kejadian kejadian untuk setiap unit masa, dan x adalah bilangan kali peristiwa berlaku.

Fungsi jisim kebarangkaliannya ialah:

Seterusnya, graf yang mewakili fungsi jisim kebarangkalian untuk nilai-nilai yang berbeza dari parameter pengagihan Poisson.

Perhatikan bahawa, selagi bilangan kejayaan adalah rendah dan bilangan n ujian yang dilakukan dalam taburan binomial adalah tinggi, kita boleh menghampiri pengagihan ini, kerana taburan Poisson adalah had taburan binomial..

Perbezaan utama antara kedua-dua pengedaran ini ialah, manakala binomial bergantung kepada dua parameter - iaitu, n dan p -, Poisson hanya bergantung kepada λ, yang kadang-kadang dipanggil keamatan pengedaran.

Setakat ini kita hanya bercakap tentang taburan kebarangkalian untuk kes-kes di mana eksperimen-eksperimen yang berbeza adalah bebas daripada satu sama lain; iaitu, apabila hasilnya tidak dipengaruhi oleh beberapa hasil lain.

Apabila kes eksperimen yang tidak bebas berlaku, pengedaran hypergeometric sangat berguna.

Pengagihan hypergeometric

Katakanlah N adalah jumlah objek dari set terhingga, yang mana kita dapat mengenal pasti k ini dalam beberapa cara, membentuk subset K, yang pelengkapnya dibentuk oleh baki elemen N-k.

Jika kita secara rawak memilih objek n, pemboleh ubah rawak X yang mewakili bilangan objek yang dimiliki oleh K dalam pilihan raya itu mempunyai taburan hipergeometrik parameter N, n dan k. Fungsi jisim kebarangkaliannya ialah:

Grafik berikut mewakili jisim fungsi kebarangkalian untuk nilai-nilai yang berlainan dari parameter pengedaran hypergeometric.

Latihan yang diselesaikan

Latihan pertama

Katakan bahawa kebarangkalian bahawa tabung radio (dimasukkan ke dalam jenis peralatan tertentu) berfungsi lebih daripada 500 jam adalah 0.2. Jika 20 tiub diuji, apakah kebarangkalian bahawa betul k ini akan bekerja lebih daripada 500 jam, k = 0, 1,2, ..., 20?

Penyelesaian

Jika X ialah bilangan tiub yang bekerja lebih daripada 500 jam, kita akan mengandaikan bahawa X mempunyai taburan binomial. Kemudian

Dan sebagainya:

Untuk k≥11, kebarangkalian kurang daripada 0.001

Oleh itu, kita dapat melihat bagaimana kebarangkalian bahawa k ini bekerja lebih daripada 500 jam naik, sehingga mencapai nilai maksimumnya (dengan k = 4) dan kemudian mula berkurang.

Latihan kedua

Satu duit syiling dilemparkan sebanyak 6 kali. Apabila hasilnya mahal, kami akan mengatakan bahawa ia adalah kejayaan. Apakah kebarangkalian kedua-dua wajah yang keluar betul-betul?

Penyelesaian

Untuk kes ini kita mempunyai n = 6 dan kebarangkalian kejayaan dan kegagalan ialah p = q = 1/2

Oleh itu, kebarangkalian dua muka diberikan (iaitu k = 2) adalah

Latihan ketiga

Apakah kebarangkalian mencari sekurang-kurangnya empat muka??

Penyelesaian

Untuk kes ini kita mempunyai k = 4, 5 atau 6

Latihan ketiga

Mari kita anggap bahawa 2% daripada barang-barang yang dihasilkan di kilang adalah rosak. Cari kebarangkalian P bahawa terdapat tiga item yang cacat dalam sampel 100 item.

Penyelesaian

Untuk kes ini kita boleh menggunakan taburan binomial untuk n = 100 dan p = 0.02, mendapatkan hasilnya:

Walau bagaimanapun, sejak p adalah kecil, kita menggunakan penghampiran Poisson dengan λ = np = 2. Jadi,

Rujukan

  1. Kai Lai Chung Teori Keberkesanan Elemen dengan Proses Stokastik. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen Matematik Diskret dan Aplikasinya. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Kebarangkalian dan Aplikasi Statistik. S.A. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Matematik Diskrit Memecahkan Masalah. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori dan Masalah Kebarangkalian. McGRAW-HILL.