Kaedah Bahagian sintetik dan Latihan yang diselesaikan

The bahagian sintetik ia adalah cara mudah untuk membahagikan polinomial P (x) dengan mana-mana satu bentuk d (x) = x - c. Ia adalah alat yang sangat berguna kerana selain membolehkan kami untuk membahagikan polinomial, juga membolehkan menilai polinomial P (x) dalam apa-apa bilangan c, yang seterusnya memberitahu kita dengan tepat jika nombor adalah sifar atau tidak polinomial.

Terima kasih kepada algoritma bahagian, kita tahu bahawa jika kita mempunyai dua polinomial P (x) dan d (x) tidak tetap, terdapat polinomial q (x) dan r (x) Di samping itu, bahawa ia berpendapat bahawa P (x) = q (x) d (x) + r (x), di mana r (x) adalah sifar atau ijazah q (x). Polinomial ini dikenali sebagai kusut dan residu atau sisa masing-masing.

Dalam keadaan di mana d polinomial (x) adalah bentuk c x-, bahagian sintetik memberikan cara yang singkat untuk mencari yang q (x) dan r (x).

Indeks

• 1 kaedah pembahagian sintetik
• 2 Latihan diselesaikan
  • 2.1 Contoh 1
  • 2.2 Contoh 2
  • 2.3 Contoh 3
  • 2.4 Contoh 4
• 3 Rujukan

Kaedah pembahagian sintetik

Biarkan P (x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ yang polinomial kita mahu membahagikan dan d (x) = x-c pembahagi itu. Untuk membahagikan kaedah pembahagian tiruan, kami meneruskan seperti berikut:

1- Kami menulis pekali P (x) dalam baris pertama. Jika mana-mana kuasa X tidak muncul, kita meletakkan sifar sebagai pekali.

2- Dalam baris kedua, ke kiri a_n tempat c, dan lukis baris bahagian seperti yang ditunjukkan dalam angka berikut:

3- Kami menurunkan pekali utama ke baris ketiga.

Dalam ungkapan ini b_n-1= a_n

4- Kami melipatgandakan c oleh pekali utama b_n-1 dan hasilnya ditulis dalam baris kedua, tetapi satu lajur di sebelah kanan.

5- Kami menambah lajur di mana kami menulis hasil sebelumnya dan hasilnya kami meletakkannya di bawah jumlah itu; iaitu, dalam lajur yang sama, baris ketiga.

Dengan menambah, kami mempunyai hasilnya_n-1+c * b_n-1, yang untuk kemudahan kami akan panggil b_n-2

6- Kami melipatgandakan c dengan hasil sebelumnya dan tulis hasilnya ke kanan di baris kedua.

7- Kami ulangi langkah 5 dan 6 sehingga kita mencapai pekali a₀.

8- Tulis jawapan; iaitu, kuah dan sisa. Seperti yang kita sedang mempengaruhi pembahagian polinomial darjah n di antara polinomial ijazah 1, kita mempunyai bahawa kekerapan serius ijazah n-1.

Koefisien polinomial kutipan akan menjadi nombor baris ketiga kecuali yang terakhir, yang akan menjadi sisa polinomial atau baki pembahagian.

Latihan yang diselesaikan

Contoh 1

Lakukan pembahagian berikut dengan kaedah bahagian sintetik:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

Penyelesaian

Pertama kita tulis pekali dividen seperti berikut:

Kemudian kita menulis c di sebelah kiri, di baris kedua, bersama dengan garis pembahagian. Dalam contoh ini c = -1.

Kami menurunkan pekali utama (dalam kes ini b_n-1 = 1) dan kalikan dengan -1:

Kami menulis hasil anda ke kanan di baris kedua, seperti ditunjukkan di bawah:

Kami menambah nombor dalam lajur kedua:

Kami darab 2 by -1 dan tulis hasilnya pada lajur ketiga, baris kedua:

Kami menambah dalam lajur ketiga:

Kami meneruskan analogi sehingga kami mencapai ruang terakhir:

Oleh itu, kita mempunyai nombor terakhir yang diperolehi adalah bahagian yang lain, dan nombor yang tinggal adalah pekali polinomial sebilangan. Ini ditulis seperti berikut:

Sekiranya kita mahu mengesahkan bahawa hasilnya adalah betul, sudah cukup untuk mengesahkan bahawa persamaan berikut telah dipenuhi:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Oleh itu, kita boleh mengesahkan bahawa hasil yang diperoleh adalah betul.

Contoh 2

Lakukan pembahagian polinomial seterusnya dengan kaedah pembahagian sintetik

(7x³-x + 2): (x + 2)

Penyelesaian

Dalam kes ini kita mempunyai istilah x² ia tidak muncul, jadi kami akan menulis 0 sebagai pekali. Jadi, polinomial akan menjadi seperti 7x³+0x²-x + 2.

Kami menulis pekali mereka berturut-turut, ini adalah:

Kami menuliskan nilai C = -2 ke sebelah kiri dalam baris kedua dan lukis baris bahagian.

Kami menurunkan pekali utama b_n-1 = 7 dan kami melipatgandakannya dengan -2, tulis hasilnya pada baris kedua di sebelah kanan.

Kami menambah dan meneruskan seperti yang dijelaskan sebelum ini, sehingga kami mencapai istilah terakhir:

Dalam kes ini, selebihnya adalah r (x) = - 52 dan kuadrat yang diperoleh ialah q (x) = 7x²-14x + 27.

Contoh 3

Satu lagi cara untuk menggunakan bahagian sintetik adalah seperti berikut: katakan kita mempunyai polinomial P (x) darjah n dan kita ingin tahu apa nilai ketika menilainya dalam x = c.

Dengan algoritma bahagian ini kita dapat menulis polinomial P (x) dengan cara berikut:

Dalam ungkapan ini q (x) dan r (x) masing-masing adalah bilangan dan sisanya. Sekarang, jika d (x) = x-c, apabila menilai dalam c dalam polinomial kita dapati yang berikut:

Untuk ini kita hanya perlu mencari r (x), dan ini kita boleh terima terima kasih kepada bahagian sintetik.

Sebagai contoh, kita mempunyai polinomial P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12x⁴-3x³+19x²-37x-37 dan kami mahu tahu nilai apabila dinilai pada x = 5. Kami menjalankan pembahagian antara P (x) dan d (x) = x -5 dengan kaedah pembahagian sintetik:

Setelah operasi dilakukan, kita tahu bahawa kita boleh menulis P (x) dengan cara berikut:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Oleh itu, apabila menilainya, kita perlu:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Seperti yang dapat kita lihat, adalah mungkin untuk menggunakan bahagian sintetik untuk mencari nilai polinomial apabila menilainya dalam c bukan hanya menggantikan c dengan x. 

Jika kita cuba menilai P (5) dengan cara tradisional, kita perlu melakukan beberapa pengiraan yang cenderung menjadi membosankan.

Contoh 4

Algoritma pembahagian untuk polinomial juga benar untuk polinomial dengan pekali kompleks dan oleh itu, mempunyai kaedah pembahagian sintetik juga berfungsi untuk polinomial ini. Seterusnya kita akan melihat satu contoh.

Kami akan menggunakan kaedah bahagian sintetik untuk menunjukkan bahawa z = 1 + 2i adalah sifar polinomial P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); iaitu, baki bahagian P (x) diantara d (x) = x - z bersamaan dengan sifar.

Kami meneruskan seperti dahulu: dalam baris pertama kita menulis pekali P (x), maka dalam kedua kita menulis z dan lukiskan baris pembahagian.

Kami membuat pembahagian seperti dahulu; ini adalah:

Kita dapat melihat bahawa sisa adalah sifar; oleh itu, kita menyimpulkan bahawa, z = 1 + 2i adalah sifar P (x).

Rujukan

1. Baldor Aurelio. Algebra. Patria Editorial Group.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Graf, berangka, algebraic Ed Pendidikan Pearson ke-7.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra dan Trigonometri dengan Geometri Analisis. Dewan Prentice
4. Michael Sullivan. Precalculus 4 Ed. Pendidikan Pearson.
5. Merah Armando O. Algebra 1 Ed 6th. The Athenaeum.