Kaedah Interpolasi Linear, Latihan yang Selesai



The interpolasi linear adalah satu kaedah yang berasal dari interpolasi umum Newton dan membolehkan untuk menentukan dengan menghitung nilai yang tidak diketahui antara dua nombor yang diberi; iaitu, terdapat nilai perantaraan. Ia juga digunakan untuk fungsi anggaran, di mana nilai-nilai f(a) dan f(b) mereka diketahui dan anda ingin tahu perantaraan f(x).

Terdapat beberapa jenis interpolasi, seperti linear, kuadratik, kubik dan tahap gred yang lebih tinggi daripada anggaran linear yang paling mudah. Harga yang harus dibayar dengan interpolasi linier adalah hasilnya tidak akan tepat seperti dengan anggaran oleh fungsi gred yang lebih tinggi.

Indeks

  • 1 Definisi
  • 2 Kaedah
  • 3 Latihan diselesaikan
    • 3.1 Latihan 1
    • 3.2 Latihan 2
  • 4 Rujukan

Definisi

interpolasi linear adalah satu proses yang membolehkan untuk menyimpulkan nilai antara tepat dua nilai, yang mungkin dalam jadual atau graf garis.

Sebagai contoh, jika anda tahu bahawa 3 liter susu bernilai $ 4 dan 5 liter bernilai $ 7, tetapi anda ingin tahu apakah nilai 4 liter susu, diinterpolasi untuk menentukan nilai pertengahan.

Kaedah

Untuk menganggarkan nilai perantaraan fungsi fungsi f dianggarkan(x) dengan cara garis lurus r(x), yang bermaksud bahawa fungsi itu bervariasi secara linear dengan "x" untuk peregangan "x = a" dan "x = b"; iaitu, untuk nilai "x" dalam selang (x0, x1) dan (dan0, dan1), nilai "y" diberikan oleh garis antara titik dan dinyatakan oleh hubungan berikut:

(dan - dan0) ÷ (x - x0) = (dan1 - dan0) ÷ (x1 - x0)

Untuk suatu interpolasi yang bersifat linear, adalah perlu bahawa polinomial interpolasi adalah ijazah satu (n = 1), supaya ia menyesuaikan kepada nilai-nilai x0 dan x1.

Interpolasi linear didasarkan pada persamaan segitiga, sehingga, yang menghasilkan geometri dari ungkapan sebelumnya, kita dapat memperoleh nilai "y", yang mewakili nilai yang tidak diketahui untuk "x".

Dengan cara itu, anda perlu:

a = tan Ɵ = (sebaliknya1 Walaupun kaki bersebelahan1) = (sisi bertentangan2 Walaupun kaki bersebelahan2)

Dikenal dengan cara lain, adalah:

(dan - dan0) ÷ (x - x0) = (dan1 - dan0) ÷ (x1 - x0)

Mengosongkan "dan" ungkapan, anda mempunyai:

(dan - dan0) * (x1 - x0) = (x - x0) * (dan1 - dan0)

(dan - dan0) = (dan1 - dan0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Oleh itu, kita memperoleh persamaan umum untuk penyerapan linier:

y = y0 + (dan1 - dan0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Secara umum, interpolasi linear memberikan ralat kecil ke atas nilai sebenar fungsi sebenar, walaupun ralat adalah minima berbanding jika anda secara intuitif memilih nombor yang dekat dengan yang anda ingin cari.

Kesalahan ini berlaku apabila anda cuba menghitung nilai lengkung dengan garis lurus; bagi kes-kes tersebut saiz selang mesti dikurangkan untuk membuat anggaran lebih tepat.

Untuk keputusan yang lebih baik berkenaan dengan pendekatan, disarankan menggunakan gred 2, 3 atau bahkan fungsi gred yang lebih tinggi untuk melakukan interpolasi. Untuk kes ini teorem Taylor adalah alat yang sangat berguna.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Jumlah jumlah bakteria per unit yang terdapat dalam inkubasi selepas x jam ditunjukkan dalam jadual berikut. Anda ingin mengetahui jumlah bakteria selama 3.5 jam.

Penyelesaian

Jadual rujukan tidak menetapkan nilai yang menunjukkan jumlah bakteria selama 3.5 jam tetapi mempunyai nilai yang lebih tinggi dan lebih rendah bersamaan dengan masa 3 dan 4 jam, masing-masing. Dengan cara itu:

x0 = 3 dan0 = 91

x = 3.5 y =?

x1 = 4 dan1 = 135

Sekarang, persamaan matematik digunakan untuk mencari nilai interpolasi, iaitu berikut:

y = y0 + (dan1 - dan0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)].

Kemudian nilai yang sama diganti:

y = 91 + (135 - 91) * [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0.5

y = 113.

Oleh itu didapati bahawa untuk masa 3.5 jam, jumlah bakteria adalah 113, yang mewakili tahap perantaraan antara jumlah bakteria yang ada pada masa 3 dan 4 jam.

Latihan 2

Luis mempunyai kilang ais krim, dan dia mahu melakukan kajian untuk menentukan pendapatannya pada bulan Ogos dari perbelanjaan yang dibuat. Pengurus syarikat membuat graf yang menyatakan hubungan itu, tetapi Luis ingin tahu:

Apakah pendapatan untuk bulan Ogos, jika perbelanjaan sebanyak $ 55,000 telah dibuat??

Penyelesaian

Grafik diberikan dengan nilai pendapatan dan perbelanjaan. Luis mahu tahu apa pendapatan bulan Ogos jika kilangnya mempunyai perbelanjaan sebanyak $ 55,000. Nilai ini tidak ditunjukkan langsung dalam graf, tetapi nilai-nilai yang lebih tinggi dan lebih rendah daripada ini.

Pertama jadual dibuat di mana untuk menghubungkan nilai dengan mudah:

Sekarang, formula interpolasi digunakan untuk menentukan nilai y

y = y0 + (dan1 - dan0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Kemudian nilai yang sama diganti:

y = 56,000 + (78,000 - 56,000) * [(55,000 - 45,000) ÷ (62,000 - 45,000)]

y = 56,000 + (22,000) * [(10,000) ÷ (17,000)]

y = 56,000 + (22,000) * (0,588)

y = 56,000 + 12,936

y = $ 68,936.

Sekiranya perbelanjaan sebanyak $ 55,000 dibuat pada bulan Ogos, pendapatannya ialah $ 68,936.

Rujukan

  1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
  2. Harpe, P. d. (2000). Topik dalam Teori Kumpulan Geometri. Universiti Chicago Press.
  3. Hazewinkel, M. (2001). Interpolasi Linear ", Ensiklopedia Matematik.
  4. , J. M. (1998). Unsur kaedah berangka untuk Kejuruteraan. UASLP.
  5. , E. (2002). Satu kronologi interpolasi: dari astronomi kuno untuk isyarat moden dan pemprosesan imej. Prosiding IEEE.
  6. berangka, I. a. (2006). Xavier Tomas, Jordi Cuadros, Lucinio González.