Kongsi:
Undang-undang Morgan
Lmata Morgan mereka adalah peraturan kesimpulan yang digunakan dalam logik proposisi, yang menegaskan apa akibat dari menafikan disjunction dan konjungsi proposisi atau pembolehubah cadangan. Undang-undang ini ditakrifkan oleh ahli matematik Augustus De Morgan.
Undang-undang Morgan mewakili alat yang sangat berguna untuk menunjukkan kesahihan penalaran matematik. Kemudian mereka diperkatakan dalam konsep yang ditetapkan oleh ahli matematik George Boole.
Penyelarasan yang dibuat oleh Boole ini sama sekali bersamaan dengan undang-undang awal Morgan, tetapi ia dibangunkan khusus untuk menetapkan dan bukan untuk cadangan. Penyelarasan ini juga dikenali sebagai undang-undang Morgan.
Indeks
- 1 Kajian logik cadangan
- 1.1 Fallacy
- 1.2 Cadangan
- 2 Undang-undang Morgan
- 2.1 Demonstrasi
- 3 Set
- 3.1 Kesatuan, persimpangan dan pelengkap set
- 4 undang-undang Morgan untuk set
- 5 Rujukan
Semak logik cadangan
Sebelum melihat undang-undang Morgan secara spesifik dan bagaimana ia digunakan, adalah mudah untuk mengingati beberapa idea asas logik cadangan. (Untuk butiran lanjut lihat artikel logik proposisi).
Dalam bidang logik matematik (atau cadangan), kesimpulan adalah kesimpulan yang dikeluarkan dari satu set premis atau hipotesis. Kesimpulan ini, bersama dengan premis yang disebutkan, menimbulkan apa yang dikenali sebagai penalaran matematik.
Penentuan ini mesti dapat ditunjukkan atau dinafikan; iaitu, tidak semua kesimpulan atau kesimpulan dalam penalaran matematik adalah sah.
Kejatuhan
Kesimpulan palsu yang dipancarkan dari anggapan tertentu yang dianggap benar diketahui sebagai kesalahan. Kesalahan mempunyai keistimewaan sebagai argumen yang kelihatan betul, tetapi secara matematik mereka tidak.
Logik propositional bertanggungjawab untuk membangun dan menyediakan kaedah dengan cara yang mana dapat, tanpa sebarang kekaburan, mengesahkan atau membantah penalaran matematik; iaitu, membuat kesimpulan yang sah dari premis. Kaedah-kaedah ini dikenali sebagai peraturan kesimpulan, yang mana undang-undang Morgan adalah sebahagian.
Cadangan
Unsur-unsur penting logik proposisi adalah proposisi. Cadangan adalah pernyataan tentang siapa yang boleh mengatakan sama ada mereka sah atau tidak, tetapi mereka tidak boleh benar atau salah pada masa yang sama. Harus ada kekaburan dalam hal ini.
Sama seperti nombor boleh digabungkan melalui operasi penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian, proposisi boleh dikendalikan dengan cara penyambung (atau penyambung) logik yang diketahui: penafian (¬, "tidak"), disjunction (V , "O"), konjungsi (Ʌ, "dan"), bersyarat (→, "jika ..., kemudian ...") dan biconditional (↔, "ya, dan hanya jika".
Untuk bekerja secara lebih kerap, bukannya mempertimbangkan proposisi tertentu, kami mempertimbangkan pembolehubah cadangan yang mewakili apa-apa cadangan, dan biasanya ditandakan dengan huruf kecil p, q, r, s, dsb..
Formula proposisi adalah gabungan pembolehubah cadangan melalui beberapa penyambung logik. Dalam erti kata lain, ia adalah komposisi pembolehubah cadangan. Mereka biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani.
Dikatakan bahawa formula proposisi secara logik membayangkan yang lain apabila yang kedua adalah benar setiap kali yang pertama adalah benar. Ini dilambangkan oleh:
Apabila implikasi logik antara dua formula proposisi adalah timbal balik - iaitu, apabila implikasi terdahulu adalah sah juga dalam arah yang bertentangan - rumus dikatakan bersamaan logik, dan ia dilambangkan oleh
Kesamaan logik adalah sejenis kesamaan antara rumus proposisi dan membolehkan untuk menggantikan satu untuk yang lain apabila perlu.
Undang-undang Morgan
Undang-undang Morgan terdiri daripada dua kesamaan logik antara dua bentuk cadangan, iaitu:
Undang-undang ini membenarkan untuk memisahkan penolakan atau disjunction, sebagai penolakan pembolehubah yang terlibat.
Yang pertama boleh dibaca seperti berikut: penolakan disjunction adalah sama dengan konjungsi negations. Dan yang kedua berbunyi seperti ini: pengabaian konjungsi adalah disjunction dari negasi.
Dalam erti kata lain, untuk menafikan disjunction dua pemboleh ubah cadangan adalah bersamaan dengan konjungsi penolakan kedua-dua pembolehubah. Begitu juga, untuk menafikan konjungsi dua pemboleh ubah cadangan adalah bersamaan dengan disjunction dari negasi kedua pembolehubah.
Seperti yang disebutkan sebelumnya, penggantian kesamaan logik ini membantu untuk menunjukkan hasil yang penting, bersama dengan peraturan kesimpulan lain yang sedia ada. Dengan ini, anda boleh mempermudahkan banyak formula yang sesuai, supaya mereka lebih berguna untuk bekerja.
Berikut adalah contoh bukti matematik yang menggunakan peraturan kesimpulan, di antara undang-undang Morgan ini. Khususnya, ia ditunjukkan bahawa formula:
bersamaan dengan:
Yang terakhir adalah mudah difahami dan berkembang.
Demonstrasi
Perlu dinyatakan bahawa kesahihan undang-undang Morgan boleh ditunjukkan secara matematik. Satu cara adalah dengan membandingkan jadual kebenaran anda.
Set
Kaedah-kaedah kesimpulan yang sama dan tanggapan logik yang digunakan untuk proposisi, juga boleh dibangunkan dengan mempertimbangkan set. Inilah yang dikenali sebagai algebra Boolean, selepas ahli matematik George Boole.
Untuk membezakan kes-kes, adalah perlu untuk mengubah notasi dan pemindahan ke set, semua tanggapan sudah dilihat dari logik proposisi.
Set adalah koleksi objek. Set ditetapkan dengan huruf kapital A, B, C, X, ... dan elemen set ditetapkan dengan huruf kecil a, b, c, x, dsb. Apabila unsur a dimiliki oleh set X, ia dilambangkan dengan:
Apabila ia bukan milik X, notasi itu ialah:
Cara untuk mewakili set adalah menempatkan elemen mereka di dalam kunci. Sebagai contoh, set nombor semulajadi diwakili oleh:
Set juga boleh diwakili tanpa menulis senarai jelas unsur-unsur mereka. Mereka boleh dinyatakan dalam bentuk :. Kedua-dua mata dibaca "seperti itu". Pembolehubah yang mewakili unsur-unsur set diletakkan di sebelah kiri dua titik, dan harta atau keadaan yang mereka memuaskan diletakkan di sebelah kanan. Ini adalah:
Sebagai contoh, set integer yang lebih besar daripada -4 boleh dinyatakan sebagai:
Atau setara, dan lebih ringkas, seperti:
Begitu juga, ungkapan berikut mewakili set nombor ganjil dan ganjil:
Kesatuan, persimpangan dan pelengkap set
Seterusnya kita akan melihat analog dari penyambung logik dalam kes set, yang merupakan sebahagian daripada operasi asas antara set.
Kesatuan dan persimpangan
Kesatuan dan persimpangan set ditentukan, masing-masing, dengan cara berikut:
Sebagai contoh, pertimbangkan set:
Kemudian, anda perlu:
Pelengkap
Pelengkap satu set dibentuk oleh unsur-unsur yang tidak tergolong dalam set itu (jenis yang sama yang mewakili asal). Pelengkap set A, dilambangkan oleh:
Sebagai contoh, dalam bilangan semulajadi, pelengkap set nombor walaupun adalah nombor ganjil, dan sebaliknya.
Untuk menentukan pelengkap satu set, ia mestilah jelas dari awal unsur sejagat atau utama elemen yang sedang dipertimbangkan. Sebagai contoh, tidak sama dengan mempertimbangkan pelengkap set pada nombor semula jadi yang pada yang rasional.
Jadual berikut menunjukkan hubungan atau analogi yang wujud di antara operasi pada set yang telah ditetapkan sebelumnya, dan yang berkaitan dengan logik proposisi:
Undang-undang Morgan untuk set
Akhirnya, undang-undang di set Morgan adalah:
Dengan kata-kata: pelengkap kesatuan adalah persimpangan pelengkap, dan pelengkap persimpangan adalah kesatuan pelengkap.
Bukti matematik kesamaan pertama adalah seperti berikut:
Demonstrasi kedua adalah analog.
Rujukan
- Almaguer, G. (2002). Matematik 1. Editorial Limusa.
- Aylwin, C. U. (2011). Logik, Set dan Nombor. Mérida - Venezuela: Majlis Penerbitan, Universidad de Los Andes.
- Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Pengenalan kepada Teori Nombor. EUNED.
- Castañeda, S. (2016). Kursus asas dalam teori nombor. Universiti Utara.
- Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Bagaimana Membangunkan Penalaran Logik Matematik. Editorial Universiti.
- Guevara, M. H. (s.f.). Teori Bilangan. EUNED.
- Zaragoza, A.C. (s.f.). Teori nombor. Buku Wawasan Editorial.