Asas Aljabar Vektor, Magnitud, Vektor



The algebra vektor adalah cabang matematik yang bertanggungjawab untuk mengkaji sistem persamaan linear, vektor, matriks, ruang vektor dan transformasi linear mereka. Ia berkaitan dengan bidang seperti kejuruteraan, menyelesaikan persamaan pembezaan, analisis fungsional, penyelidikan operasi, grafik komputer, dan lain-lain..

Satu lagi bidang yang telah menggunakan aljabar linear adalah fizik, kerana melalui ini telah dibangunkan untuk mengkaji fenomena fizikal, menerangkannya melalui penggunaan vektor. Ini telah menjadikan pemahaman yang lebih baik mengenai alam semesta.

Indeks

  • 1 Asas
    • 1.1 Geometrik
    • 1.2 Analitik
    • 1.3 Axiomatically
  • 2 Magnitudes
    • Magnitud Skalar
    • Magnitud Vektor 2.2
  • 3 Apakah vektor??
    • 3.1 Modul
    • 3.2 Alamat
    • 3.3 Sense
  • 4 Klasifikasi vektor
    • 4.1 vektor tetap
    • 4.2 vektor percuma
    • 4.3 vektor gelongsor
  • 5 Sifat vektor
    • 5.1 equipolentes Vectors
    • 5.2 Vektor yang bersamaan
    • 5.3 Kesamaan vektor
    • 5.4 Vektor yang bertentangan
    • 5.5 vektor unit
    • 5.6 Vektor Null
  • 6 Komponen vektor
    • 6.1 Contoh
  • 7 Operasi dengan vektor
    • 7.1 Menambah dan menolak vektor
    • 7.2 Pendaraban vektor
  • 8 Rujukan

Asas-asas

algebra vektor berasal daripada kajian kuaternion (sambungan nombor nyata) 1, i, j, k, dan juga geometri Cartesian digalakkan oleh Gibbs dan Heaviside, yang menyedari bahawa vektor berfungsi sebagai alat untuk mewakili pelbagai fenomena fizikal.

Aljabar vektor dikaji melalui tiga asas:

Secara geometri

Vektor diwakili oleh garis yang mempunyai orientasi, dan operasi seperti penambahan, pengurangan dan pendaraban oleh nombor nyata ditakrifkan melalui kaedah geometri.

Secara analitik

Penerangan mengenai vektor dan operasi mereka dilakukan dengan nombor, yang dipanggil komponen. Penerangan jenis ini adalah hasil daripada perwakilan geometrik kerana sistem koordinat digunakan.

Secara aksiomatik

Penerangan tentang vektor dibuat, tanpa mengira sistem koordinat atau apa-apa jenis perwakilan geometri.

Kajian angka dalam ruang dilakukan melalui perwakilan mereka dalam sistem rujukan, yang boleh berada dalam satu atau lebih dimensi. Antara sistem utama ialah:

- Sistem satu dimensi, iaitu garis di mana satu titik (O) mewakili asal dan titik lain (P) menentukan skala (panjang) dan arahnya:

- Sistem koordinat segi empat tepat (dua dimensi), yang terdiri daripada dua garis tegak lurus yang dipanggil paksi-x dan paksi-y, yang melewati satu titik (O) asal; dengan cara ini pesawat itu dibahagikan kepada empat wilayah yang disebut quadrants. Dalam hal ini titik (P) dalam pesawat diberikan oleh jarak yang ada di antara paksi dan P.

- Sistem koordinat kutub (dua dimensi). Dalam kes ini, sistem ini terdiri daripada titik O (asal) yang dipanggil tiang dan sinar dengan asal O dipanggil sumbu kutub. Dalam hal ini titik P pesawat, dengan merujuk kepada tiang dan paksi kutub, diberikan oleh sudut (Ɵ), yang dibentuk oleh jarak antara asal dan titik P.

- Sistem tiga dimensi segi empat tepat, dibentuk oleh tiga garisan tegak lurus (x, y, z) yang mempunyai asal sebagai titik O di ruang angkasa. Tiga pesawat koordinat terbentuk: xy, xz dan yz; ruang akan dibahagikan kepada lapan kawasan yang dipanggil oktan. Rujukan titik P ruang diberikan oleh jarak yang ada antara pesawat dan P.

Magnitud

Magnitud ialah kuantiti fizikal yang boleh dikira atau diukur melalui nilai berangka, seperti dalam hal beberapa fenomena fizikal; Walau bagaimanapun, sering diperlukan untuk dapat menerangkan fenomena ini dengan faktor lain yang tidak berangka. Itulah sebabnya magnitud dikelaskan kepada dua jenis:

Magnitud scalar

Mereka adalah kuantiti yang ditakrifkan dan diwakili secara berangka; iaitu, dengan modul bersama dengan unit pengukuran. Sebagai contoh:

a) Masa: 5 saat.

b) Massa: 10 kg.

c) Volum: 40 ml.

d) Suhu: 40ºC.

Magnitud vektor

Mereka adalah kuantiti yang ditakrifkan dan diwakili oleh satu modul bersama satu unit, dan juga oleh rasa dan arahan. Sebagai contoh:

a) Kelajuan: (5 - 3˚) m / s.

b) Pecutan: 13 m / s2; S 45º E.

c) Pasukan: 280 N, 120º.

d) Berat: -40 ĵ kg-f.

Magnitudo vektor diwakili secara grafik oleh vektor.

Apakah vektor?

Vektor adalah perwakilan grafik dari magnitud vektor; iaitu, ia adalah segmen garis lurus di mana akhir akhir mereka adalah hujung anak panah.

Ini ditentukan oleh modul atau panjang segmen mereka, rasa mereka yang ditunjukkan oleh hujung anak panah mereka dan arah mereka mengikut garis yang mana mereka berada. Asal daripada vektor juga dikenali sebagai titik permohonan.

Unsur-unsur vektor adalah yang berikut:

Modul

Ia adalah jarak dari asal hingga akhir vektor, yang diwakili oleh nombor nyata bersama satu unit. Sebagai contoh:

| OM | = | A | = A = 6 cm

Alamat

Ia adalah ukuran sudut yang wujud di antara paksi x (dari positif) dan vektor, serta titik kardinal (utara, selatan, timur dan barat) digunakan.

Sense

Ia diberikan oleh anak panah yang terletak di hujung vektor, yang menunjukkan di mana ia menuju.

Klasifikasi vektor

Secara umumnya, vektor dikelaskan sebagai:

Vektor tetap

Ia adalah orang yang titik permohonan (asal) adalah tetap; iaitu, ia tetap terikat kepada satu titik ruang, sebab mengapa ia tidak boleh dipindahkan dalam hal ini.

Vektor percuma

Ia boleh bergerak bebas di angkasa kerana asalnya bergerak ke mana-mana tanpa mengubah modul, rasa atau arahnya.

Vektor gelongsor

Ia adalah yang dapat memindahkan asalnya di sepanjang garis tindakannya tanpa mengubah modul, rasa atau arahnya.

Sifat vektor

Antara sifat utama vektor adalah seperti berikut:

Equipolentes vektor

Mereka adalah vektor bebas yang mempunyai modul yang sama, arah (atau selari) dan merasakan bahawa vektor gelangsar atau vektor tetap.

Vektor yang bersamaan

Ia berlaku apabila dua vektor mempunyai alamat yang sama (atau selari), pengertian yang sama, dan walaupun terdapat modul dan titik aplikasi yang berbeza, ia menyebabkan kesan yang sama.

Kesamaan vektor

Mereka mempunyai modul, arah dan akal yang sama, walaupun titik permulaan mereka berbeza, yang membolehkan vektor selari untuk bergerak sendiri tanpa menjejaskannya..

Vektor yang bertentangan

Mereka adalah mereka yang mempunyai modul dan arah yang sama, tetapi rasa mereka adalah bertentangan.

Unit vektor

Ia adalah modul mana yang sama dengan unit (1). Ini diperoleh dengan membahagikan vektor dengan modulnya dan digunakan untuk menentukan arah dan pengertian vektor, sama ada dalam satah atau ruang angkasa, menggunakan vektor normal atau unit yang dinormalisasi, iaitu:

Vektor Null

Ia adalah modul yang sama dengan 0; iaitu, titik asal mereka dan bertentangan ekstrim pada titik yang sama.

Komponen vektor

Komponen vektor ialah nilai-nilai unjuran vektor pada paksi sistem rujukan; Bergantung pada penguraian vektor, yang boleh berada dalam dua atau tiga paksi dimensi, dua atau tiga komponen akan diperoleh, masing-masing.

Komponen vektor adalah bilangan sebenar, yang boleh positif, negatif atau bahkan sifar (0).

Oleh itu, jika kita mempunyai vektor Ā, yang berasal dari sistem koordinat segiempat dalam bidang xy (dua dimensi), unjuran pada paksi x ialah Āx dan unjuran pada paksi y ialah Āy. Oleh itu, vektor akan dinyatakan sebagai jumlah vektor komponennya.

Contohnya

Contoh pertama

Kami mempunyai vektor Ā yang bermula dari asal dan koordinat hujungnya diberikan. Oleh itu, vektor Ā = (Āx; Adan) = (4; 5) cm.

Jika vektor A bertindak pada asal-usul sistem koordinat segi tiga tiga dimensi (dalam ruang) x, y, z, ke titik yang lain (P), unjuran paksi mereka Ax, Ay dan Az; dengan itu, vektor yang dinyatakan sebagai jumlah tiga vektor komponen.

Contoh kedua

Kami mempunyai vektor Ā yang bermula dari asal dan koordinat hujungnya diberikan. Oleh itu, vektor Ā = (Ax; Adan; Az) = (4; 6; -3) cm.

Vektor yang mempunyai koordinat segi empat tepat boleh dinyatakan dalam bentuk vektor asasnya. Untuk itu, hanya setiap koordinat mesti didarabkan oleh vektor unit masing-masing, sedemikian rupa supaya untuk pesawat dan ruang mereka akan menjadi berikut:

Untuk pesawat: Ā = Axi + Adanj.

Untuk ruang: Ā = Axi + Adanj + Azk.

Operasi dengan vektor

Terdapat banyak magnitud yang mempunyai modul, rasa dan arahan, seperti percepatan, kelajuan, perpindahan, kekerasan, dan lain-lain..

Ini digunakan dalam pelbagai bidang sains, dan memohon mereka adalah perlu dalam beberapa kes untuk melaksanakan operasi seperti penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian vektor dan skalar.

Penambahan dan pengurangan vektor

Penambahan dan pengurangan vektor dianggap sebagai operasi algebra tunggal kerana pengurangan boleh ditulis sebagai jumlah; contohnya, pengurangan vektor Ā dan Ē boleh dinyatakan sebagai:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Terdapat kaedah yang berbeza untuk melakukan penambahan dan penolakan vektor: mereka boleh menjadi grafik atau analitis.

Kaedah grafik

Digunakan apabila vektor mempunyai modul, rasa dan arahan. Untuk melakukan ini, garisan dilukis yang membentuk angka yang kemudiannya membantu menentukan hasil yang dihasilkan. Antara yang paling terkenal, yang menonjol ialah:

Kaedah selari

Untuk membuat penambahan atau penolakan dua vektor, satu titik dipilih secara umum pada paksi koordinat - yang akan mewakili titik asal vektor -, mengekalkan modul, arah dan arahnya..

Kemudian garisan digariskan selari dengan vektor-vektor untuk membentuk suatu jajar. Vektor yang dihasilkan adalah pepenjuru yang meninggalkan dari titik asal kedua vektor hingga puncak jajarannya:

Kaedah segitiga

Dalam kaedah ini vektor diletakkan di sebelah yang lain, mengekalkan modul, arahan dan arahnya. Vektor yang dihasilkan akan menjadi kesatuan asal vektor pertama dengan akhir vektor kedua:

Kaedah analisis

Anda boleh menambah atau menolak dua vektor atau lebih melalui kaedah geometri atau vektor:

Kaedah geometri

Apabila dua vektor membentuk segitiga atau paralelogram, modulus dan arah vektor yang terhasil boleh ditentukan menggunakan undang-undang sinus dan kosinus. Oleh itu, modul vektor yang dihasilkan, menggunakan undang-undang kosinus dan dengan kaedah segitiga, diberikan oleh:

Dalam formula ini β adalah sudut bertentangan dengan sisi R, dan ini bersamaan dengan 180º.

Sebaliknya, dengan kaedah parallelogram modul vektor yang terhasil ialah:

Arah vektor yang dihasilkan diberikan oleh sudut (α), yang membentuk hasil dengan salah satu vektor.

Oleh undang-undang payudara, penambahan atau pengurangan vektor juga boleh dibuat dengan kaedah segi tiga atau segi empat selari, mengetahui bahawa semua pihak segitiga adalah berkadar dengan sinus sudut Dapper:

Kaedah vektor

Ini boleh dilakukan dalam dua cara: bergantung kepada koordinat segi empat tepat atau vektor asas mereka.

Ia boleh dilakukan dengan menggerakkan vektor yang akan ditambah atau ditolak kepada asal, dan kemudian dihuraikan kepada komponen segi empat tepat semua unjuran dalam setiap satu daripada paksi untuk pesawat (x, y) atau (x, dan, z); akhirnya, komponennya ditambah secara algebra. Oleh itu, bagi pesawat itu adalah:

Modul vektor yang dihasilkan adalah:

Walaupun untuk ruang ia adalah:

Modul vektor yang dihasilkan adalah:

Apabila menjalankan jumlah vektor beberapa sifat digunakan, iaitu:

- Harta persatuan: keputusan tidak berubah dengan menambah dua vektor terlebih dahulu, dan kemudian menambah vektor ketiga.

- Harta komutatif: urutan vektor tidak mengubah yang terhasil.

- Proporsi pengedaran vektor: jika skalar didarabkan dengan jumlah dua vektor, ia adalah sama dengan pendaraban skalar bagi setiap vektor.

- Properties distributive scalar: jika vektor didarab dengan jumlah dua skalar, ia sama dengan pendaraban vektor untuk setiap skalar.

Pendaraban vektor

Pendaraban atau produk vektor boleh dilakukan sebagai tambahan atau penolakan, tetapi dalam berbuat demikian, ia kehilangan makna fizikal dan hampir tidak pernah dijumpai dalam aplikasi. Oleh itu, pada amnya jenis produk yang paling banyak digunakan ialah produk skalar dan vektor.

Produk skalar

Ia juga dikenali sebagai produk dot dua vektor. Apabila modul dua vektor didarabkan oleh kosinus sudut kecil yang dibentuk di antara mereka, skalar diperolehi. Untuk meletakkan produk skalar di antara dua vektor, satu titik diletakkan di antara mereka, dan ini boleh ditakrifkan sebagai:

Nilai sudut yang wujud antara dua vektor akan bergantung kepada sama ada ia selari atau tegak lurus; Oleh itu, anda perlu:

- Sekiranya vektor selari dan mempunyai pengertian yang sama, cosine 0º = 1.

- Sekiranya vektor selari dan mempunyai indra yang bertentangan, cosine 180º = -1.

- Sekiranya vektor adalah tegak lurus, cosine 90º = 0.

Sudut itu juga boleh dikira mengetahui bahawa:

Produk skalar mempunyai ciri-ciri berikut:

- Harta komutatif: urutan vektor tidak mengubah skalar.

-Harta distributif: jika skalar didarabkan dengan jumlah dua vektor, ia sama dengan pendaraban skalar bagi setiap vektor.

Produk vektor

Pendaraban vektor, atau produk salib dua vektor A dan B, akan menghasilkan vektor baru C dan dinyatakan dengan menggunakan silang antara vektor:

Vektor baru akan mempunyai ciri-ciri tersendiri. Dengan cara itu:

- Arah: vektor baru ini akan berserenjang dengan pesawat, yang ditentukan oleh vektor asal.

- Pengertian: ini ditentukan oleh peraturan tangan kanan, di mana vektor A diputar ke arah B dengan menunjuk arah putaran dengan jari, dan dengan ibu jari indera vektor ditandai.

- Modul: ditentukan oleh pendaraban modul vektor AxB, oleh sinus sudut terkecil yang wujud di antara vektor-vektor ini. Ia dinyatakan:

Nilai sudut yang wujud antara dua vektor akan bergantung kepada sama ada ia selari atau tegak lurus. Kemudian, adalah mungkin untuk mengesahkan yang berikut:

- Sekiranya vektor selari dan mempunyai pengertian yang sama, sin 0º = 0.

- Sekiranya vektor selari dan mempunyai indra yang bertentangan, maka 180º = 0.

- Jika vektor adalah tegak lurus, sinus 90º = 1.

Apabila produk vektor dinyatakan dalam bentuk vektor asasnya, ia mesti:

Produk skalar mempunyai ciri-ciri berikut:

- Ia tidak commutative: urutan vektor mengubah skalar.

- Harta distributif: jika skalar didarabkan dengan jumlah dua vektor, ia sama dengan pendaraban skalar bagi setiap vektor.

Rujukan

  1. Altman Naomi, M. K. (2015). "Regresi Linear Mudah." Kaedah Alam .
  2. Angel, A. R. (2007). Algebra asas Pendidikan Pearson,.
  3. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). Algebr ke Vektorial dalam Contoh. Moscow: Mir.
  5. Lay, D. C. (2007). Aljabar garis lurus dan aplikasinya. Pendidikan Pearson.
  6. Llinares, J. F. (2009). Algebra linear: Ruang vektor. Ruang vektor Euclidean. Universiti Alicante.
  7. Mora, J. F. (2014). Algebra linear Tanah Air.