Asas logik matematik, apa kajian, jenis



The logik matematik atau logik simbolik adalah bahasa matematik yang merangkumi alat yang diperlukan dengan cara yang menaip matematik dapat ditegaskan atau ditolak.

Adalah diketahui bahawa dalam matematik tidak ada kekaburan. Memandangkan hujah matematik, ini sah atau semata-mata tidak. Ia tidak boleh salah dan benar pada masa yang sama.

Aspek tertentu dalam matematik ialah ia mempunyai bahasa formal dan ketat di mana kesahihan pemikiran dapat ditentukan. Apa yang membuat penalaran tertentu atau apa-apa bukti matematik yang tidak dapat disangkal? Itulah apa yang logik matematik semua tentang.

Oleh itu, logik adalah disiplin matematik yang bertanggungjawab untuk mengkaji penalaran matematik dan demonstrasi, dan menyediakan alat untuk dapat membuat kesimpulan yang betul dari kenyataan atau proposisi sebelumnya.

Untuk melakukan ini, ia menggunakan aksioma dan aspek matematik lain yang akan dibangunkan kemudian.

Indeks

  • 1 Asal dan sejarah
    • 1.1 Aristotle
  • 2 Apakah kajian logik matematik??
    • 2.1 Cadangan
    • 2.2 Jadual kebenaran
  • 3 Jenis logik matematik
    • 3.1 Kawasan
  • 4 Rujukan

Asal dan sejarah

Tarikh yang tepat berkenaan dengan banyak aspek logik matematik tidak pasti. Bagaimanapun, sebahagian besar bibliografi mengenai subjek mengesan asal usul ini kepada Yunani kuno.

Aristotle

Permulaan rawatan yang ketat logik adalah disebabkan oleh sebahagian daripada Aristotle, yang menulis satu siri kerja-kerja mengenai logik, yang kemudiannya disusun dan dibangunkan oleh ahli-ahli falsafah dan ahli sains yang berbeza sehingga Zaman Pertengahan. Ini boleh dianggap sebagai "logik lama".

Kemudian, di mana dikenali sebagai Zaman Kontemporari, Leibniz, didorong oleh keinginan yang mendalam untuk mewujudkan satu bahasa universal untuk sebab matematik, dan ahli matematik yang lain seperti Gottlob Frege dan Giuseppe Peano, terutamanya mempengaruhi perkembangan logik matematik dengan sumbangan besar , di antara mereka, Aksioma Peano, yang merumuskan sifat-sifat yang tidak boleh diketepikan dari nombor semula jadi.

Juga berpengaruh pada masa ini ahli matematik George Boole dan Georg Cantor, dengan sumbangan penting kepada teori set dan kebenaran jadual, yang menekankan, antara lain, algebra Boolean (oleh George Boole) dan aksiom pilihan (oleh George Cantor).

Augustus De Morgan juga dengan undang-undang yang dikenali Morgan, menimbang negations, hubung, disjunctions dan conditional antara usul, kunci kepada pembangunan Logik Simbolik dan John Venn yang terkenal rajah Venn.

Pada abad ke-20, kira-kira antara 1910 dan 1913, Bertrand Russell dan Alfred North Whitehead menonjol dengan penerbitan mereka Principia mathematica, satu set buku yang mengumpul, membangun dan menyusun satu siri aksiom dan hasil logik.

Kajian logik matematik apa?

Cadangan

Logik matematik bermula dengan kajian proposisi. Cadangan adalah ikrar bahawa tanpa sebarang kekaburan boleh dikatakan jika ia benar atau tidak. Berikut adalah contoh cadangan:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • Pada tahun 1930 terdapat gempa bumi di Eropah.

Yang pertama adalah proposisi yang benar dan yang kedua adalah satu cadangan palsu. Yang ketiga, meskipun mungkin orang yang membaca itu tidak tahu apakah itu benar atau segera, itu adalah pernyataan yang dapat diverifikasi dan ditentukan apakah itu benar-benar terjadi atau tidak.

Berikut adalah contoh-contoh ungkapan yang tidak mencadangkan:

  • Dia berambut perang.
  • 2x = 6.
  • Mari kita mainkan!
  • Adakah anda suka pawagam??

Dalam cadangan pertama, ia tidak dinyatakan siapa "dia", oleh itu tiada apa yang boleh ditegaskan. Dalam cadangan kedua, apa yang diwakili oleh "x" belum ditentukan. Jika sebaliknya dikatakan bahawa 2x = 6 untuk beberapa nombor semulajadi x, dalam kes ini ia akan sesuai dengan proposisi, sebenarnya benar, kerana untuk x = 3 ia dipenuhi.

Dua kenyataan terakhir tidak sesuai dengan proposisi, kerana tidak ada cara untuk menafikan atau mengesahkannya.

Dua atau lebih proposisi boleh digabungkan (atau disambungkan) menggunakan penyambung konektor yang diketahui (atau penyambung). Ini adalah:

  • Penafian: "Ia tidak hujan".
  • Disie: "Luisa membeli beg putih atau kelabu".
  • Sempena: "42= 16 dan 2 × 5 = 10 ".
  • Bersyarat: "Jika hujan, maka saya tidak pergi ke gym sore ini".
  • Bikondisi: "Saya pergi ke gym petang ini jika, dan hanya jika, tidak hujan".

Cadangan yang tidak mempunyai sebarang sambungan sebelumnya, dipanggil proposisi mudah (atau atom). Contohnya, "2 adalah kurang daripada 4", adalah cadangan yang mudah. Cadangan-cadangan yang mempunyai beberapa penyambung dipanggil proposisi majmuk, sebagai contoh "1 + 3 = 4 dan 4 adalah bilangan yang lebih banyak".

Penyataan yang dibuat melalui saranan biasanya panjang, jadi ia adalah membosankan untuk menuliskannya selalu seperti yang telah kita lihat setakat ini. Atas sebab ini, bahasa simbolik digunakan. Cadangan biasanya diwakili oleh huruf besar seperti P, Q, R, S, dsb. Dan penyambung simbolik seperti berikut:

Jadi itu

The timbal balik daripada cadangan bersyarat

adalah cadangan

Dan yang counterreproach (atau contrapositive) suatu proposisi

adalah cadangan

Jadual kebenaran

Satu lagi konsep penting dalam logik adalah jadual kebenaran. Nilai-nilai kebenaran cadangan yang dua pilihan yang anda ada untuk cadangan yang: benar (yang diwakili oleh V dan memberitahu nilai kebenaran mereka adalah V) atau palsu (yang dilambangkan dengan F dan mengatakan bahawa nilai ia benar-benar adalah F).

Nilai kebenaran proposisi kompaun bergantung semata-mata kepada nilai kebenaran proposisi mudah yang muncul di dalamnya.

Untuk bekerja lebih umum, kami tidak akan mempertimbangkan cadangan khusus, tetapi pemboleh ubah cadangan p, q, r, s, dll, yang akan mewakili apa-apa cadangan.

Dengan pemboleh ubah ini dan sambungan logik formula rumus yang terkenal terbentuk hanya sebagai kenyataan kompaun dibina.

Sekiranya setiap pembolehubah yang terdapat dalam formula cadangan digantikan oleh suatu proposisi, cadangan komposit diperolehi.

Berikut adalah jadual kebenaran untuk sambungan logik:

Terdapat formula cadangan yang hanya menerima nilai V dalam jadual kebenaran mereka, iaitu, ruang terakhir jadual kebenaran mereka hanya mempunyai nilai V. Formula jenis ini dikenali sebagai tautologi. Sebagai contoh:

Berikut adalah jadual kebenaran formula

Dikatakan bahawa formula α secara logiknya membayangkan formula lain β, jika α adalah benar setiap kali β adalah benar. Iaitu, dalam jadual kebenaran α dan β, baris di mana α mempunyai V, β juga mempunyai V. Hanya baris di mana α mempunyai nilai V yang menarik. Notasi untuk implikasi logik adalah berikut :

Jadual berikut merangkumi sifat-sifat implikasi logik:

Dikatakan bahawa dua formula proposisi bersamaan logik jika jadual kebenarannya adalah sama. Notasi berikut digunakan untuk menyatakan kesamaan logik:

Jadual berikut meringkaskan sifat persamaan logik:

Jenis logik matematik

Terdapat pelbagai jenis logik, terutamanya jika seseorang mengambil kira logik pragmatik atau tidak formal yang menunjuk kepada falsafah, antara lain.

Setakat matematik, jenis logik boleh diringkaskan seperti berikut:

  • Logik Formal atau Aristotelia (Logik Kuno).
  • Logik propositional: bertanggungjawab untuk mengkaji segala hal yang berkaitan dengan kesahihan argumen dan proposisi menggunakan bahasa formal dan juga simbolik.
  • Logik simbolik: memberi tumpuan kepada kajian set dan sifat mereka, juga dengan bahasa formal dan simbolik, dan sangat berkaitan dengan logik proposisi.
  • Logik kombinatorial: salah satu yang paling baru dibangunkan, melibatkan hasil yang boleh dibangunkan oleh algoritma.
  • Pengaturcaraan logik: digunakan dalam pelbagai pakej dan bahasa pengaturcaraan.

Kawasan

Antara kawasan yang menggunakan logik matematik yang begitu penting dalam pembangunan pemikiran dan hujah-hujah mereka, mereka menekankan falsafah, teori set, teori nombor, algebra membina matematik dan bahasa pengaturcaraan.

Rujukan

  1. Aylwin, C. U. (2011). Logik, Set dan Nombor. Mérida - Venezuela: Majlis Penerbitan, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Pengenalan kepada Teori Nombor. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Kursus asas dalam teori nombor. Universiti Utara.
  4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Bagaimana Membangunkan Penalaran Logik Matematik. Editorial Universiti.
  5. Zaragoza, A.C. (s.f.). Teori nombor. Buku Wawasan Editorial.