Penjelasan Teori, Aplikasi dan Latihan Bolzano yang telah diselesaikan

The Teorem Bolzano menyatakan bahawa jika fungsi selanjar pada semua titik selang tertutup [a, b] dan memegang imej "a" dan "b" (fungsi rendah) mempunyai tanda-tanda bertentangan, maka akan ada sekurang-kurangnya satu mata "C" dalam selang terbuka (a, b), supaya fungsi yang dinilai dalam "c" akan sama dengan 0.

teorem ini telah diucapkan oleh ahli falsafah, ahli teologi dan ahli matematik Bernard Bolzano pada tahun 1850. Saintis ini, lahir pada masa sekarang Republik Czech ia adalah salah seorang ahli matematik pertama dalam sejarah untuk membuat demonstrasi formal sifat-sifat fungsi berterusan.

Indeks

• 1 Penjelasan
• 2 Demonstrasi
• 3 Apa itu??
• 4 Latihan diselesaikan
  • 4.1 Latihan 1
  • 4.2 Latihan 2
• 5 Rujukan

Penjelasan

Teorem Bolzano juga dikenali sebagai teorem nilai pertengahan, yang membantu dalam menentukan nilai-nilai tertentu, terutamanya sifar fungsi sebenar tertentu pemboleh ubah nyata.

Dalam f yang diberikan (x) berterusan-iaitu, f (a) dan f (b) yang dihubungkan dengan melengkung, di mana f (a) di bawah paksi-x (negatif), f (b) fungsi di atas paksi x (positif), atau sebaliknya, grafik wujud pemotongan paksi x mewakili nilai perantaraan "c" yang antara "a" dan "b", dan nilai f (c) akan sama dengan 0.

Dengan menganalisis secara grafis teorem Bolzano, kita dapat mengetahui bahawa untuk setiap fungsi f berterusan ditakrifkan dalam selang [a, b], di mana f (a)_*f (b) adalah kurang dari 0, akan ada sekurang-kurangnya satu akar "c" fungsi tersebut dalam selang waktu (a, b).

Teorem ini tidak menetapkan jumlah mata yang ada dalam selang terbuka itu, hanya menyatakan bahawa terdapat sekurang-kurangnya 1 mata.

Demonstrasi

Untuk membuktikan teorem Bolzano, ia diandaikan tanpa kehilangan kesamaan bahawa f (a) < 0 y f(b) > 0; dengan cara itu, mungkin terdapat banyak nilai antara "a" dan "b" yang mana f (x) = 0, tetapi anda hanya perlu menunjukkan bahawa terdapat satu.

Mula dengan menilai f pada titik tengah (a + b) / 2. Jika f ((a + b) / 2) = 0 maka ujian berakhir di sini; jika tidak, maka f ((a + b) / 2) adalah positif atau negatif.

Salah satu daripada separuh selang [a, b] dipilih, supaya tanda-tanda fungsi yang dievaluasi di hujungnya berbeza. Selang yang baru ini akan [a1, b1].

Sekarang, jika f yang dinilai pada titik tengah [a1, b1] tidak sifar, maka operasi yang sama seperti sebelum dilakukan; iaitu separuh daripada selang waktu ini yang memenuhi syarat tanda-tanda dipilih. Jadilah selang baru ini [a2, b2].

Sekiranya proses ini diteruskan, maka dua kejayaan a dan bn akan diambil, iaitu:

a sedang meningkat dan bn semakin berkurang:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Jika anda mengira panjang setiap jarak [ai, bi], anda perlu:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2 ².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Oleh itu, had apabila n cenderung ke infiniti (bn-an) sama dengan 0.

Menggunakan a semakin meningkat dan dibatasi dan bn berkurang dan dibatasi, mesti ada nilai "c" sedemikian rupa sehingga:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

had adalah "c" dan bn had adalah "c". Oleh itu, memandangkan sebarang δ> 0, sentiasa ada "n" supaya selang [an, bn] terkandung dalam julat (c-δ, c + δ).

Sekarang, ia mesti ditunjukkan bahawa f (c) = 0.

Jika f (c)> 0, maka f berterusan, terdapat ε> 0 supaya f adalah positif sepanjang selang (c-ε, c + ε). Walau bagaimanapun, seperti yang dinyatakan di atas, terdapat nilai "n" yang mana perubahan f menandatangani [a, bn] dan, sebagai tambahan, [a, bn] terkandung dalam (c-ε, c + ε) apakah percanggahan.

Sekiranya f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 yang mana f adalah negatif sepanjang selang (c-ε, c + ε); tetapi ada nilai "n" sedemikian rupa sehingga perubahan f menandatangani [an, bn]. Ternyata [a, bn] terkandung dalam (c-ε, c + ε), yang juga merupakan percanggahan.

Oleh itu, f (c) = 0 dan inilah yang kami mahu tunjukkan.

Apa itu??

Dari tafsiran grafik, teorem Bolzano digunakan untuk mencari akar atau sifar dalam fungsi berterusan melalui dua sama (anggaran), yang merupakan satu kaedah yang selalu membahagikan selang carian tambahan 2.

Kemudian membuat selang [a, c] atau [c, b] di mana perubahan tanda berlaku, dan proses ini akan berulang sehingga julat adalah berkurangan, untuk lebih kurang bersamaan dengan nilai menjadi; iaitu nilai yang berfungsi menjadikan 0.

Pendek kata, untuk memohon teorem Bolzano dan dengan itu mencari akar, merapatkan sifar fungsi atau memberi penyelesaian kepada persamaan, langkah-langkah berikut dilaksanakan:

- Ia disahkan jika f ialah fungsi berterusan dalam selang [a, b].

- Jika jeda tidak diberikan, satu harus dijumpai di mana fungsi itu berterusan.

- Ia disahkan sekiranya berlakunya tanda-tanda yang bertentangan apabila dinilai dalam f.

- Sekiranya tanda-tanda bertentangan tidak diperoleh, selang masa hendaklah dibahagikan kepada dua subintervals menggunakan titik tengah.

- Evaluasi fungsi pada titik tengah dan sahkan bahawa hipotesis Bolzano dipenuhi, di mana f (a) _* f (b) < 0.

- Bergantung kepada tanda (positif atau negatif) nilai yang dijumpai, prosesnya diulang dengan subinterval baru sehingga hipotesis yang disebutkan telah dipenuhi.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Tentukan sama ada fungsi f (x) = x² - 2, mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian nyata dalam selang [1,2].

Penyelesaian

Kami mempunyai fungsi f (x) = x² - 2. Oleh kerana ia adalah polinomial, ia bermakna ia berterusan dalam sebarang selang.

diminta untuk menentukan sama ada ia mempunyai penyelesaian sebenar dalam selang [1, 2], sehingga kini hanya perlu menggantikan titik hujung dalam fungsi untuk mengetahui tanda-tanda ini dan sama ada mereka memenuhi syarat yang lain:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negatif)

f (2) = 2² - 2 = 2 (positif)

Oleh itu, tanda f (1) ≠ tanda f (2).

Ini memastikan bahawa terdapat sekurang-kurangnya satu titik "c" yang dimiliki oleh selang [1,2], di mana f (c) = 0.

Dalam kes ini, nilai "c" dapat dikira dengan mudah seperti berikut:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

Oleh itu, √2 ≈ 1,4 tergolong dalam selang [1,2] dan memenuhi f (√2) = 0.

Latihan 2

Buktikan bahawa persamaan x⁵ + x + 1 = 0 mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian yang sebenar.

Penyelesaian

Perhatikan terlebih dahulu bahawa f (x) = x⁵ + x + 1 adalah fungsi polinomial, yang bermaksud bahawa ia berterusan dalam semua nombor nyata.

Dalam kes ini, tidak ada selang diberikan, jadi nilai harus dipilih secara intuitif, sebaik-baiknya dekat dengan 0, untuk menilai fungsi dan mencari perubahan tanda:

Sekiranya anda menggunakan selang [0, 1], anda perlu:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Oleh kerana tiada perubahan tanda, prosesnya diulang dengan selang yang lain.

Sekiranya anda menggunakan selang [-1, 0], anda perlu:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

Dalam selang ini terdapat perubahan tanda: tanda f (-1) ≠ tanda f (0), yang bermaksud fungsi f (x) = x⁵ + x + 1 mempunyai sekurang-kurangnya satu akar sebenar "c" dalam selang [-1, 0], dengan itu f (c) = 0. Dengan kata lain, benar bahawa x⁵ + x + 1 = 0 mempunyai penyelesaian sebenar dalam selang [-1,0].

Rujukan

1. Bronshtein I, S. K. (1988). Manual Matematik untuk Jurutera dan Pelajar ... Editorial MIR.
2. George, A. (1994). Matematik dan Minda. Oxford University Press.
3. Ilín V, P. E. (1991). Analisis Matematik Dalam tiga jilid ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). Guru Pendidikan Menengah. Jilid II. MAD.
5. Mateos, M. L. (2013). Sifat asas analisis dalam R. Editores, 20 Dis.
6. Piskunov, N. (1980). Kalkulus Berbeza dan Integral ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Matematik untuk Analisis Ekonomi. Felix Varela.
8. William H. Barker, R. H. (s.f.). Symmetry Berterusan: Dari Euclid ke Klein. Soc Matematik Amerika.