Teorem Chebyshov Apa Itu Terdiri, Aplikasi dan Contoh



The Teorem Chebyshov (atau ketidaksamaan Chebyshov) adalah salah satu daripada keputusan klasik yang paling penting dalam kebarangkalian teori. Ia membenarkan anggaran kebarangkalian peristiwa yang dijelaskan dari segi pembolehubah rawak X, dengan memberikan kita satu dimensi yang tidak bergantung kepada pembahagian pemboleh ubah rawak tetapi pada varians X.

teorem ini dinamakan sempena ahli matematik Rusia Chebyshev Pamuty (juga ditulis sebagai Chebychev atau Tchebycheff) yang, walaupun tidak menjadi yang pertama untuk mengucapkan dgn teorem ini, adalah orang pertama yang memberi demonstrasi pada tahun 1867.

Ketidakseimbangan ini, atau yang oleh ciri-ciri mereka dipanggil ketidakseimbangan Chebyshov, digunakan terutamanya untuk kebarangkalian anggaran dengan cara pengiraan dimensi.

Indeks

  • 1 Apa itu terdiri daripada??
  • 2 Aplikasi dan contoh
    • 2.1 Kebarangkalian bersempadan
    • 2.2 Demonstrasi had teorem
    • 2.3 Saiz sampel
  • 3 Ketidaksetaraan jenis Chebyshov
  • 4 Rujukan

Apa itu terdiri daripada??

Dalam kajian teori kebarangkalian berlaku jika fungsi taburan bagi pemboleh ubah rawak X yang diketahui, anda boleh mengira nilai anda dijangka, atau matematik jangkaan E (X) - dan varians Var (X), dengan syarat berkata jumlah wujud. Walau bagaimanapun, timbal balik tidak semestinya benar.

Iaitu, mengetahui E (X) dan Var (X), tidak semestinya mungkin untuk mendapatkan fungsi edaran X, jadi kuantiti seperti P (| X |> k) untuk sesetengah k> 0 sangat sukar diperolehi. Tetapi terima kasih kepada ketidaksamaan Chebyshov adalah mungkin untuk menganggarkan kebarangkalian pemboleh ubah rawak.

Teorema Chebyshov memberitahu kita bahawa jika kita mempunyai pemboleh ubah rawak X ke atas ruang sampel S dengan fungsi kebarangkalian p, dan jika k> 0, maka:

Aplikasi dan contoh

Di antara banyak aplikasi yang mempunyai teorem Chebyshov, berikut boleh disebutkan:

Kebarangkalian kebarangkalian

Ini adalah aplikasi yang paling biasa dan digunakan untuk memberi had atas untuk P (| X-E (X) | ≥k) di mana k> 0, hanya varians dan jangkaan pemboleh ubah rawak X, tanpa mengetahui fungsi kebarangkalian.

Contoh 1

Katakan bilangan produk yang dihasilkan dalam syarikat selama seminggu adalah pemboleh ubah rawak dengan purata 50.

Sekiranya kita tahu bahawa varians satu minggu pengeluaran bersamaan dengan 25, maka apa yang boleh kita katakan mengenai kemungkinan bahawa dalam pengeluaran minggu ini akan berbeza dengan lebih dari 10 dari purata?

Penyelesaian

Memohon ketidaksamaan Chebyshov kita perlu:

Daripada ini, kita dapat memperoleh kebarangkalian bahawa dalam minggu pengeluaran bilangan artikel melebihi lebih daripada 10 kepada purata adalah paling 1/4.

Demonstrasi had teorem

Ketidaksamaan Chebyshov memainkan peranan penting dalam demonstrasi teorem had yang paling penting. Sebagai contoh, kami mempunyai yang berikut:

Undang-undang lemah dalam jumlah besar

Undang-undang ini menetapkan bahawa diberi urutan X1, X2, ..., Xn, ... pemboleh ubah rawak bebas dengan pengagihan purata yang sama E (Xi) = μ dan varians Var (X) = σ2, dan sampel purata yang diketahui:

Kemudian untuk k> 0 anda perlu:

Atau, bersamaan dengan:

Demonstrasi

Pertama, perhatikan perkara berikut:

Sejak X1, X2, ..., Xn adalah bebas, ia mengikuti bahawa:

Oleh itu, adalah mustahak untuk mengesahkan yang berikut:

Kemudian, menggunakan teorem Chebyshov, kita perlu:

Akhirnya, teorem hasil daripada fakta bahawa batas ke kanan adalah sifar apabila n cenderung tak terhingga.

Perlu diingat bahawa ujian ini hanya dilakukan untuk kes di mana variasi Xi wujud; iaitu, ia tidak menyimpang. Oleh itu, kita amati bahawa teorem itu sentiasa benar jika E (Xi) wujud.

Chebyshov's theorem limit

Jika X1, X2, ..., Xn, ... adalah penggantian pemboleh ubah rawak bebas yang terdapat beberapa C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

Demonstrasi

Oleh kerana peralihan variasi terikat secara seragam, kita mempunyai Var (Sn) ≤ C / n, untuk semua n semula jadi. Tetapi kita tahu bahawa:

Dengan membuat n cenderung kepada infiniti, keputusan berikut:

Oleh kerana kebarangkalian tidak dapat melebihi nilai 1, hasil yang diinginkan diperolehi. Akibat teorem ini, kita boleh menyebut kes Bernoulli.

Jika eksperimen diulangi kali n secara bebas dengan dua keputusan yang mungkin (kejayaan dan kegagalan), di mana p adalah kebarangkalian kejayaan dalam setiap eksperimen dan X adalah pembolehubah rawak yang mewakili bilangan kejayaan, maka bagi setiap k> 0 anda perlu:

Saiz sampel

Dari segi varians, ketidaksamaan Chebyshev membolehkan kita untuk mencari saiz sampel n yang mencukupi untuk memastikan bahawa kebarangkalian bahawa | Sn-μ |> = k berlaku adalah sekecil dikehendaki, membolehkan penghampiran kepada purata.

Tepat, biarkan X1, X2, ... Xn menjadi sampel pemboleh ubah rawak bebas saiz n dan marilah kita mengandaikan bahawa E (Xi) = μ dan variansnya σ2. Kemudian, disebabkan oleh ketidaksamaan Chebyshov, kita perlu:

Contoh

Anggapkan bahawa X1, X2, ... Xn ialah sampel pemboleh ubah rawak bebas dengan pengedaran Bernoulli, supaya mereka mengambil nilai 1 dengan kebarangkalian p = 0.5.

Apa yang sepatutnya saiz sampel dapat menjamin kebarangkalian bahawa perbezaan antara aritmetik bermaksud Sn dan nilai yang diharapkan (melebihi lebih daripada 0.1) adalah kurang daripada atau sama dengan 0. 01?

Penyelesaian

Kami mempunyai E (X) = μ = p = 0.5 dan Var (X) = σ2= p (1-p) = 0.25. Untuk ketidaksamaan Chebyshov, untuk mana-mana k> 0 kami perlu:

Sekarang, dengan mengambil k = 0.1 dan δ = 0.01, kita perlu:

Dengan cara ini disimpulkan bahawa saiz sampel sekurang-kurangnya 2500 diperlukan untuk memastikan kebarangkalian peristiwa | Sn - 0.5 |> = 0.1 kurang dari 0.01.

Ketidaksamaan keturunan Chebyshov

Terdapat pelbagai ketidaksamaan yang berkaitan dengan ketidaksamaan Chebyshov. Salah satu yang paling terkenal adalah ketidaksamaan Markov:

Dalam ungkapan ini X adalah pemboleh ubah rawak bukan negatif dengan k, r> 0.

Ketidaksamaan Markov boleh mengambil bentuk yang berbeza. Sebagai contoh, biarkan Y menjadi pemboleh ubah rawak nonnegatif (jadi P (Y> = 0) = 1) dan katakan bahawa E (Y) = μ wujud. Katakan juga bahawa (E (Y))r= μr wujud untuk beberapa integer r> 1. Kemudian:

Ketidaksamaan lain ialah Gauss, yang memberitahu kita bahawa memberikan pemboleh ubah rawak unimodal X dengan mod pada sifar, maka untuk k> 0,

Rujukan

  1. Kai Lai Chung Teori Keberkesanan Elemen dengan Proses Stokastik. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen Matematik Diskret dan Aplikasinya. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Kebarangkalian dan Aplikasi Statistik. S.A. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Matematik Diskrit Memecahkan Masalah. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori dan Masalah Kebarangkalian. McGRAW-HILL.