Formula, Demonstrasi, Aplikasi dan Latihan Teorem Euclid

The Teorem Euclid Ia menunjukkan sifat-sifat segi tiga tepat dengan melukis garisan yang membahagikan kepada dua segi tiga baru yang sama dan, seterusnya, adalah sama dengan segi tiga asal; maka, terdapat perhubungan kekompadankan.

Euclid adalah salah seorang ahli matematik terbesar dan geometri usia tua yang melakukan beberapa demonstrasi teorem penting. Salah satu yang utama ialah nama yang mempunyai namanya, yang mempunyai aplikasi yang luas.

Ini telah jadi kerana, melalui teorem ini, ia menerangkan dengan cara yang mudah hubungan geometri yang ada di segitiga kanan, di mana kaki ini berkaitan dengan unjuran mereka dalam hipotenus.

Indeks

1 Formula dan demonstrasi
- 1.1 Teorem ketinggian
- 1.2 Teorem kaki
2 Hubungan antara teorem Euclid
3 Latihan diselesaikan
- 3.1 Contoh 1
- 3.2 Contoh 2
4 Rujukan

Formula dan demonstrasi

teorem Euclid menunjukkan bahawa semua segi tiga tepat, apabila garis yang mewakili ketinggian yang sepadan dengan puncak sudut yang tepat adalah ditarik kepada hipotenusa- dua segi tiga tepat terbentuk dari yang asal.

Segitiga-segitiga ini akan sama antara satu sama lain dan juga akan sama dengan segitiga asal, yang bermaksud bahawa sisi yang sama mereka berkadaran antara satu sama lain:

Sudut ketiga-tiga segi tiga adalah kongruen; iaitu, apabila diputar hingga 180 darjah pada puncaknya, sudut bertepatan dengan yang lain. Ini bermakna semua orang akan sama.

Dengan cara itu anda juga boleh mengesahkan persamaan antara ketiga-tiga segi tiga, untuk sudut yang sama. Dari keserupaan segi tiga, Euclid menetapkan bahagian ini dari dua teorem:

- Teorema ketinggian.

- Teorem kaki.

Teorem ini mempunyai aplikasi yang luas. Dalam zaman purba ia digunakan untuk mengira ketinggian atau jarak, mewakili pendahuluan yang besar untuk trigonometri.

Beliau kini digunakan dalam pelbagai bidang berdasarkan matematik, dan kejuruteraan, fizik, kimia dan astronomi, di kalangan banyak kawasan-kawasan lain.

Teorema ketinggian

Teorem ini menyatakan bahawa mana-mana segi tiga tepat, ketinggian diambil daripada sudut hak untuk hipotenus adalah geometri min berkadar (kuasa dua ketinggian) di antara unjuran kaki menentukan hipotenus.

Iaitu, kuasa dua ketinggian adalah sama dengan pendaraban kaki unjuran membentuk hipotenus:

h_c² = m _*n

Demonstrasi

Memandangkan segitiga ABC, yang merupakan segiempat tepat pada titik C, apabila merancang ketinggian dua segitiga tepat sama, ADC dan BCD, dijana; Oleh itu, bahagian yang bersesuaian adalah berkadar:

Dalam apa-apa cara bahawa ketinggian h_c yang sepadan dengan CD segmen, sepadan dengan hypotenuse AB = c, jadi kita perlu:

Sebaliknya, ini sepadan dengan:

Mengosongkan hipotenus (h_c), untuk membiak kedua ahli kesamarataan, anda perlu:

h_{c *} h_{c =}m _*n

h_c² = m _*n

Oleh itu, nilai hipotenus diberikan oleh:

Teorem kaki

Teorem ini menyatakan bahawa dalam apa-apa segi tiga tepat, sejauh mana setiap rangkaian tersebut adalah min geometri berkadar (persegi setiap kaki) di antara ukuran hipotenus (lengkap) dan setiap unjuran mengenai perkara ini:

b² = c _* m

a² = c_* n

Demonstrasi

Memandangkan sebuah segitiga ABC, iaitu segi empat tepat pada verteks C, seperti yang hipotenus adalah c, dengan memplot ketinggian (h) unjuran kaki b, yang segmen m dan n masing-masing, dan yang ada di atas ditentukan hipotenus.

Oleh itu, kita mempunyai ketinggian yang dilukis pada segitiga kanan ABC menghasilkan dua segitiga sama, ADC dan BCD yang sama, supaya bahagian yang sama adalah berkadar, seperti ini:

DB = n, yang merupakan unjuran kaki CB pada hipotenus.

AD = m, yang merupakan unjuran AC cathetus pada hipotenus.

Kemudian, hipotenus c ditentukan oleh jumlah kaki unjurannya:

c = m + n

Oleh kerana persamaan ADC dan BCD segitiga, kita perlu:

Di atas adalah sama seperti:

Dengan membersihkan kaki "a" untuk membiak kedua ahli kesamarataan, seseorang perlu:

a _*a = c_*n

a² = c_*n

Oleh itu, nilai kaki "a" diberikan oleh:

Begitu juga, dengan persamaan segi tiga ACB dan ADC, kita perlu:

Di atas adalah sama dengan:

Dengan membersihkan kaki "b" untuk membiak kedua ahli kesamarataan, seseorang perlu:

b _*b = c_*m

b² = c_*m

Oleh itu, nilai kaki "b" diberikan oleh:

Hubungan antara teorem Euclid

Theorems dengan rujukan kepada ketinggian dan kaki berkaitan dengan satu sama lain kerana ukuran keduanya dibuat berkenaan dengan hipotenus segi tiga yang betul.

Melalui hubungan teorema Euclid, nilai ketinggian juga dapat dijumpai; yang mungkin dilakukan dengan mengosongkan nilai m dan n dari teorem kaki dan ia digantikan di teorem ketinggian. Dengan cara ini, ketinggian adalah sama dengan pendaraban kaki, dibahagikan dengan hipotenus:

b² = c_*m

m = b² ÷ c

a² = c_*n

n = a² ÷ c

Dalam teorem ketinggian, m dan n digantikan:

h_c² = m _*n

h_c² = (b² ÷ c) _* (a² ÷ c)

h_c = (b²_* a²) ÷ c

Latihan yang diselesaikan

Contoh 1

Memandangkan segitiga ABC, segiempat tepat dalam A, tentukan ukuran AC dan AD, jika AB = 30 cm dan BD = 18 cm

Penyelesaian

Dalam kes ini kita mempunyai pengukuran salah satu kaki yang diunjurkan (BD) dan salah satu kaki segitiga asal (AB). Dengan cara itu, anda boleh memohon teorem kaki untuk mencari nilai kaki BC.

AB² = BD _*BC

(30)² = 18 _*BC

900 = 18 _*BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Nilai CD cathetus boleh didapati dengan mengetahui bahawa BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Sekarang adalah mungkin untuk menentukan nilai AC cathetus, sekali lagi memohon teorem kaki:

AC² = CD _*BD

AC²= 32 _* 50

AC² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Untuk menentukan nilai ketinggian (AD), teorem ketinggian digunakan, kerana nilai-nilai kaki yang diunjukan CD dan BD diketahui:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Contoh 2

Tentukan nilai ketinggian (h) segitiga MNL, segiempat tepat dalam N, mengetahui pengukuran segmen:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Penyelesaian

Anda mempunyai pengukuran salah satu kaki yang diunjurkan pada hypotenuse (PM), serta pengukuran kaki segitiga asal. Dengan cara ini, teorem kaki boleh digunakan untuk mencari nilai kaki yang diunjukan (LN) yang lain:

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Seperti yang kita sudah tahu nilai kaki dan hipotenus, melalui hubungan teorema ketinggian dan kaki, nilai ketinggian dapat ditentukan:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b²_* a²) ÷ c.

h = (10²_* 5²) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Rujukan

Braun, E. (2011). Kekecohan, fraktal dan perkara yang pelik. Dana Kebudayaan Ekonomi.
Cabrera, V. M. (1974). Matematik Moden, Jilid 3.
Daniel Hernandez, D. P. (2014). Matematik tahun ke-3 Caracas: Santillana.
Ensiklopedia Britannica, i. (1995). Ensiklopedia Hispanik: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
Euclid, R. P. (1886). Elemen Geometri Euclid.
Guardeño, A. J. (2000). Warisan matematik: dari Euclid ke Newton, para jenius melalui buku-bukunya. Universiti Seville.

Matematik

« Teorem Chebyshov Apa Itu Terdiri, Aplikasi dan Contoh Teorem Lamy (dengan Latihan yang Selesai) »