Teorem Moivre Mengenai Apa Yang Terdiri, Menunjukkan dan Latihan Yang Terselesaikan

The Teorem Moivre memohon proses asas algebra, seperti kuasa dan pengekstrakan akar dalam bilangan kompleks. Teorema itu dikemukakan oleh ahli matematik Perancis terkenal Abraham de Moivre (1730), yang mengaitkan bilangan kompleks dengan trigonometri.

Abraham Moivre membuat persatuan ini melalui ekspresi payudara dan kosinus. Ahli matematik ini menjana sejenis formula di mana ia adalah mungkin untuk menaikkan nombor kompleks z kepada kuasa n, iaitu integer positif yang lebih besar daripada atau sama dengan 1.

Indeks

• 1 Apakah teorem Moivre itu??
• 2 Demonstrasi
  • 2.1 Pangkalan induktif
  • 2.2 hipotesis induktif
  • 2.3 Memeriksa
  • 2.4 Integer negatif
• 3 Latihan diselesaikan
  • 3.1 Pengiraan kuasa positif
  • 3.2 Pengiraan kuasa negatif
• 4 Rujukan

Apakah teorem Moivre??

Teorem Moivre menyatakan perkara berikut:

Sekiranya anda mempunyai nombor kompleks dalam bentuk kutub z = r_□, di mana r adalah modul nombor kompleks z, dan sudut erti dipanggil amplitud atau hujah mana-mana nombor kompleks dengan 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, untuk mengira kuasa n yang ia tidak perlu untuk membiaknya dengan sendiri n-kali; iaitu, tidak perlu membuat produk berikut:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{□ *} r_{□ *} r_{□ * * *} r_□   n-times.

Sebaliknya, teorem mengatakan bahawa apabila menulis z dalam bentuk trigonometrinya, untuk mengira kuasa n, kita meneruskan seperti berikut:

Sekiranya z = r (cos Ɵ + i _* dosa) kemudian zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* dosa n * Ɵ).

Sebagai contoh, jika n = 2, maka z² = r²[cos 2 (ў) + i sin 2 (ў)]. Sekiranya anda mempunyai n = 3, maka z³ = z² _* z. Selain itu:

z³ = r²[cos 2 (ў) + i sin 2 (ў)] _* r [cos 2 (ɵ) + i sin 2 (ɵ)] = r³[cos 3 (ў) + i sin 3 (ў)].

Dengan cara ini, nisbah trigonometri sinus dan kosinus boleh diperolehi untuk gandaan sudut, selagi nisbah trigonometrik sudut diketahui..

Dengan cara yang sama ia boleh digunakan untuk mencari ekspresi yang lebih tepat dan kurang mengelirukan untuk akar n nombor z kompleks, supaya zⁿ = 1.

Untuk menunjukkan teorem Moivre, prinsip induksi matematik digunakan: jika integer "a" mempunyai harta "P", dan jika bagi mana-mana nombor integer "n" lebih besar daripada "a" yang mempunyai "P" memenuhi n + 1 juga mempunyai harta "P", maka semua bilangan bulat yang lebih besar daripada atau sama dengan "a" mempunyai harta "P".

Demonstrasi

Dengan cara ini, bukti teorem dilakukan dengan langkah-langkah berikut:

Asas induktif

Cek pertama untuk n = 1.

Seperti z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (kos + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* □) + i _* sen (1_* □), kita mempunyai bahawa untuk n = 1 teorem dipenuhi.

Hipotesis induktif

Dianggap bahawa formula itu adalah benar untuk beberapa integer positif, iaitu, n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k  = r^k (kos k + i _* sen k Ɵ).

Memeriksa

Ini terbukti benar untuk n = k + 1.

Seperti z^{k + 1}= z^k _* z, kemudian z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (kos + i + i _* sen kƟ) _*  r (kos + i_* senƟ).

Kemudian ungkapan berganda:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos)_*(kos) + (kos kuali)_*(i_*sen.) + (i _* sen kƟ)_*(kos) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

Buat seketika faktor r tidak diabaikan^{k + 1},  dan faktor umum saya dialih keluar:

(kos kept)_*(kos) + i (kos kept)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(kos) + i²(sen kuali)_*(sen).

Bagaimana saya² = -1, kami menggantikannya dalam ungkapan dan kami dapat:

(kos kept)_*(kos) + i (kos kept)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(kos) - (sen kƟ)_*(sen).

Kini bahagian sebenar dan khayalan diperintahkan:

(kos kept)_*(kos) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(kos) + (kos kuali)_*(sen)].

Untuk memudahkan ungkapan, identiti trigonometri bagi jumlah sudut bagi kosinus dan sinus diguna pakai, iaitu:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = dosa A _* cos B - cos A _* cos B.

Dalam kes ini, pembolehubah adalah sudut dan k. Menggunakan identiti trigonometri, kami mempunyai:

cos kƟ _* kos -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* kos + kos _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Dengan cara ini, ungkapan itu tetap:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kÏ + +) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1)] + i _* sen [(k +1)]].

Oleh itu, dapat ditunjukkan bahawa hasilnya adalah benar untuk n = k + 1. Dengan prinsip induksi matematik, disimpulkan bahawa hasilnya adalah benar untuk semua integer positif; iaitu, ≥ 1.

Integer negatif

Teorem Moivre juga digunakan apabila n ≤ 0. Pertimbangkan integer negatif "n"; maka "n" boleh ditulis sebagai "-m", iaitu, n = -m, di mana "m" adalah integer positif. Oleh itu:

(kos + i _* sen Ɵ)ⁿ = (kos + i _* sen Ɵ) ^-m

Untuk mendapatkan eksponen "m" dengan cara yang positif, ungkapan itu ditulis secara songsang:

(kos + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (kos + i _* sen Ɵ) ^m

(kos + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (kos m + i _* sen mƟ)

Sekarang, digunakan jika z = a + b * i adalah nombor kompleks, maka 1 ÷ z = a-b * i. Oleh itu:

(kos + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (m).

Menggunakan cos (x) = cos (-x) dan bahawa -sen (x) = sin (-x), kita perlu:

(kos + i _* sen Ɵ)ⁿ = [kos (mohon) - i _* sen (m)]]

(kos + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-m)

(kos + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (n) - i _* sen (neces).

Dengan cara itu, kita boleh mengatakan bahawa teorem berkenaan untuk semua nilai integer "n".

Latihan yang diselesaikan

Pengiraan kuasa positif

Salah satu operasi dengan nombor kompleks dalam bentuk kutubnya adalah pendaraban antara dua ini; dalam kes itu modul dikalikan dan hujah-hujah ditambah.

Jika anda mempunyai dua nombor kompleks z₁ dan z₂ dan anda ingin mengira (z₁* z₂)², Kemudian kita meneruskan seperti berikut:

z₁z₂ = [r₁ (kos Ɵ₁ + i _* sen Ɵ₁)] [r₂ (kos Ɵ₂ + i _* sen Ɵ₂)]

Hartanah distributif digunakan:

z₁z₂ = r₁ r₂ (kos Ɵ_{1 *} kos Ɵ₂ + i _* kos Ɵ_{1 *} i _* sen Ɵ₂ + i _* sen Ɵ_{1 *} kos Ɵ₂ + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂).

Mereka dikumpulkan, mengeluarkan istilah "i" sebagai faktor sepunya ungkapan:

z₁z₂ = r₁ r₂ [kos Ɵ_{1 *} kos Ɵ₂ + i (kos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} kos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Bagaimana saya² = -1, diganti dalam ungkapan:

z₁z₂ = r₁ r₂ [kos Ɵ_{1 *} kos Ɵ₂ + i (kos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} kos Ɵ₂) - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Istilah sebenar dikumpulkan semula dengan sebenar, dan khayalan dengan khayalan:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(kos_{1 *} kos Ɵ₂ - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂) + i (kos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} kos Ɵ₂)]

Akhir sekali, sifat trigonometri digunakan:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (ў₁ + □₂) + i sen (□₁ + □₂)].

Kesimpulannya:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (ў₁ + □₂) + i sen (□₁ + □₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (□₁ + □₂) + i sen 2 * (□₁ + □₂)].

Latihan 1

Tuliskan nombor kompleks dalam bentuk kutub jika z = - 2 -2i. Kemudian, dengan menggunakan teorem Moivre, hitung z⁴.

Penyelesaian

Nombor kompleks z = -2 -2i dinyatakan dalam bentuk segi empat tepat z = a + bi, di mana:

a = -2.

b = -2.

Mengetahui bahawa bentuk polar adalah z = r (cos Ɵ + i _* dosa), anda perlu menentukan nilai modul "r" dan nilai hujah "Ɵ". Sebagai r = √ (a² + b²), nilai yang diberikan digantikan:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Kemudian, untuk menentukan nilai "" ", bentuk segi empat tepat ini digunakan, yang diberikan oleh formula:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Sebagai tan (Ɵ) = 1 dan anda perlu<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Oleh kerana nilai "r" dan "" "telah diperoleh, nombor kompleks z = -2 -2i boleh dinyatakan dalam bentuk kutub dengan menggantikan nilai:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Kini teorem Moivre digunakan untuk mengira z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Latihan 2

Cari produk nombor kompleks dengan menyatakannya dalam bentuk kutubnya:

z1 = 4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)

z2 = 7 (kos 100^o + i_* 100 sen^o).

Kemudian, kirakan (z1 * z2) ².

Penyelesaian

Mula-mula produk nombor yang diberikan terbentuk:

z₁ z₂ = [4 (kos 50^o + i_* 50 sen^o)] * [7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o)]

Kemudian kalikan modul bersama-sama, dan tambahkan argumen:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^o + 100^o) + i_* sen (50^o + 100^o)]

Ungkapan ini dipermudah:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o).

Akhir sekali, teorem Moivre digunakan:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o)) ² = 784 (kos 300)^o + (i_* 300 sen^o)).

Pengiraan kuasa negatif

Untuk membahagikan dua nombor kompleks z₁ dan z₂ dalam bentuk polarnya, modul dibahagikan dan hujah dikurangkan. Oleh itu, bilangan adalah z₁ ÷ z₂ dan ia dinyatakan seperti berikut:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (ў₁- □₂) + i sen (□₁ - □₂)]).

Seperti dalam kes sebelumnya, jika anda ingin mengira (z1 ÷ z2) ³ pertama pembahagian dibuat dan kemudian teorem Moivre digunakan.

Latihan 3

Diberikan:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

hitung (z1 ÷ z2) ³.

Penyelesaian

Berikutan langkah yang dinyatakan di atas, dapat disimpulkan bahawa:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Rujukan

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
2. Croucher, M. (s.f.). Dari Teorem Moivre untuk Identiti Trig. Projek Demonstrasi Wolfram.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra dan Trigonometri.
5. Pérez, C. D. (2010). Pendidikan Pearson.
6. Stanley, G. (s.f.). Algebra linear Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus Pendidikan Pearson.