Kongsi:
Teorem Thales dari Miletus Pertama, Kedua dan Contoh
Yang pertama dan kedua Teorem Thales dari Miletus mereka didasarkan pada menentukan segi tiga daripada yang lain yang sama (teorem pertama) atau lilitan (teorem kedua). Mereka sangat berguna dalam pelbagai bidang. Sebagai contoh, teorem pertama terbukti sangat berguna untuk mengukur struktur besar apabila tidak ada instrumen pengukur yang canggih.
Thales of Miletus adalah ahli matematik Yunani yang memberikan sumbangan besar kepada geometri, di mana kedua-dua teorem ini menonjol (dalam beberapa teks mereka juga menulisnya sebagai Thales) dan aplikasi berguna mereka. Hasil ini telah digunakan sepanjang sejarah dan telah membolehkan menyelesaikan pelbagai masalah geometri.
Indeks
- 1 Teorema Pertama Tales
- 1.1 Permohonan
- 1.2 Contoh
- 2 Teorema Kedua Tales
- 2.1 Permohonan
- 2.2 Contoh
- 3 Rujukan
Teorema Pertama Tales
Teorem pertama Tales adalah alat yang sangat berguna yang, antara lain, membolehkan untuk membina segitiga serupa dengan yang lain, sebelum ini diketahui. Dari sini dapatkan pelbagai versi teorem yang boleh diterapkan dalam pelbagai konteks.
Sebelum memberikan pernyataan anda, ingat beberapa pengertian persamaan segitiga. Pada asasnya, dua segitiga sama jika sudutnya bersesuaian (mereka mempunyai ukuran yang sama). Ini menimbulkan fakta bahawa, jika dua segitiga sama, pihak yang sama (atau homolog) adalah berkadar.
Teorem pertama Thales menyatakan bahawa jika dalam segitiga tertentu garis lurus diambil selari dengan mana-mana pihaknya, segitiga baru yang diperolehi akan sama dengan segitiga awal.
Anda juga mendapat hubungan antara sudut-sudut yang terbentuk, seperti yang dilihat dalam angka berikut.
Permohonan
Antara banyak aplikasinya menonjolkan kepentingan tertentu dan mempunyai kaitan dengan salah satu cara di mana ukuran struktur besar telah dibuat pada zaman purba, masa di mana dia hidup Tales dan di mana tidak dikira pada peranti pengukur moden mereka wujud sekarang.
Dikatakan bahawa ini adalah bagaimana Thales berjaya mengukur piramid tertinggi di Mesir, Cheops. Untuk ini, Thales berpendapat bahawa pantulan sinar matahari menyentuh tanah membentuk garisan selari. Di bawah anggapan ini, dia melekatkan batang atau tongkat secara menegak ke tanah.
Kemudian dia menggunakan persamaan kedua-dua segi tiga yang terhasil, yang ditubuhkan oleh panjang bayang-bayang piramid (yang boleh dikira dengan mudah) dan ketinggian piramid (tidak diketahui), dan yang lain yang dibentuk oleh panjang teduh dan ketinggian rod (yang juga boleh dikira dengan mudah).
Menggunakan kekompadanan antara panjang ini, anda boleh membersihkan dan mengetahui ketinggian piramid.
Walaupun kaedah pengukuran ini dapat memberikan kesilapan yang besar mengenai penghampiran dengan ketepatan ketinggian dan bergantung kepada paralelisme sinaran matahari (yang seterusnya bergantung pada masa yang tepat), kita harus menyedari bahawa ia adalah idea yang sangat bijak dan yang menyediakan alternatif pengukuran yang baik untuk masa itu.
Contohnya
Cari nilai x dalam setiap kes:
Penyelesaian
Di sini kita mempunyai dua baris dipotong oleh dua baris selari. Oleh Teorem Thales yang pertama, pihaknya mempunyai proporsional. Khususnya:
Penyelesaian
Di sini kita mempunyai dua segitiga, salah satu daripada ini dibentuk oleh segmen selari dengan salah satu sisi yang lain (tepatnya sisi panjang x). Dengan teorem pertama Tales, anda perlu:
Teorem Kedua Tales
Teorema kedua Thales menentukan segi tiga tepat yang tertulis kepada lilitan di setiap titik yang sama.
Segitiga yang tertera pada lilitan adalah segitiga yang mempunyai simpul di lilitan, yang terkandung dalam ini.
Secara khusus, teorem kedua negeri itu: diberi lilitan pusat O dan diameter AC, setiap titik B lilitan (selain daripada A dan C) menentukan sebuah segitiga ABC dengan sudut kanan Oleh sebab justifikasi, ambil perhatian bahawa kedua-dua OA dan OB dan OC sesuai dengan radius keliling; Oleh itu, pengukuran mereka adalah sama. Dari situ diperolehi bahawa segitiga OAB dan OCB adalah isosceles, di mana Adalah diketahui bahawa jumlah sudut segi tiga sama dengan 180º. Menggunakan ini dengan segi tiga ABC anda perlu: 2b + 2a = 180º. Setaraf, kita mempunyai b + a = 90º dan b + a = Perhatikan bahawa segitiga tepat yang disediakan oleh Thales teorem kedua adalah tepat yang hipotenusnya sama dengan diameter lilitan. Oleh itu, ia ditentukan sepenuhnya oleh separuh bulatan yang mengandungi titik segitiga; dalam kes ini, separuh bulatan atas. Perhatikan juga bahawa dalam segitiga yang betul diperolehi oleh Thales teorem kedua, hypotenuse dibahagikan kepada dua bahagian yang sama oleh OA dan OC (jejari). Sebaliknya, ukuran ini bersamaan dengan segmen OB (juga jejari), yang bersamaan dengan median segi tiga ABC oleh B. Dengan kata lain, panjang median segi tiga kanan ABC sepadan dengan puncak B sepenuhnya ditentukan oleh separuh daripada hipotenus. Ingatlah bahawa median segitiga adalah segmen dari salah satu simpang ke titik tengah dari sisi bertentangan; dalam kes ini, segmen BO. Satu lagi cara untuk melihat Thales teorem kedua adalah melalui bulatan yang dilampirkan kepada segitiga yang betul. Secara umum, bulatan yang dibekalkan kepada poligon terdiri daripada lilitan yang melepasi setiap ruasnya, setiap kali ia dapat mengesannya. Saya menggunakan teorem kedua itu diberikan segi tiga tepat, kita boleh membina circumcircle untuk ini, dengan jejari bersamaan dengan separuh daripada hipotenus dan circumcenter (pusat bulatan) sebagai titik tengah hipotenus. Satu aplikasi yang sangat penting bagi teorem kedua Tales, dan mungkin yang paling banyak digunakan, adalah untuk mencari garis-garis tangen ke lilitan yang diberikan, dengan titik P luar ke ini (diketahui). Perhatikan bahawa diberi lilitan (dilukis dengan warna biru dalam rajah di bawah) dan sebuah tempat P luar, terdapat dua tangen kepada pemergian lilitan melalui P. Sean T dan T 'mata tengen, r jejari bulatan dan Atau pusatnya. Adalah diketahui bahawa segmen yang pergi dari tengah bulatan ke titik ketajaman daripadanya, berserenjang dengan garis tangen ini. Kemudian, sudut OTP adalah lurus. Dari apa yang kita lihat awal teorem pertama Thales dan versi yang berlainan, kita dapat melihat bahawa segitiga OTP dalam lilitan lain (merah). Secara analog diperolehi bahawa segitiga OT'P boleh ditulis dalam lilitan yang sama sebelumnya. Untuk teorem selain kedua itu kami mendapatkan diameter bulatan baru adalah tepat hipotenus segitiga OTP (yang adalah sama dengan hipotenus segitiga OT'P), dan pusat adalah titik tengah hipotenus. Untuk mengira pusat lilitan yang baru, maka ia adalah mencukupi untuk mengira titik tengah antara pusat - katakan M - lilitan awal (yang sudah kita ketahui) dan titik P (yang kita juga tahu). Kemudian, jejari akan menjadi jarak antara titik ini M dan P. Dengan radius dan pusat bulatan merah kita boleh mencari persamaan Cartesiannya, yang kita ingat diberikan oleh (x-h)2 + (y-k)2 = c2, di mana c adalah jejari dan titik (h, k) adalah pusat bulatan. Mengetahui sekarang persamaan kedua-dua lintang, kita boleh memintas mereka dengan menyelesaikan sistem persamaan yang dibentuk oleh ini, dan dengan itu memperoleh titik tangency T dan T '. Akhirnya, untuk mengetahui garis tangen yang diingini, cukup untuk mencari persamaan garis lurus yang melalui T dan P, dan oleh T 'dan P. Pertimbangkan lilitan diameter AC, pusat O dan jejari 1 cm. Biarkan B menjadi titik pada lilitan seperti AB = AC. Berapakah ukuran AB?? Dengan teorem kedua Thales kita mempunyai bahawa segitiga ABC adalah segiempat tepat dan hipotenuse sepadan dengan diameter, yang dalam kes ini mengukur 2 cm (radius ialah 1 cm). Kemudian, oleh Teorema Pythagorean kita perlu:
Lilitan yang tertutup
Permohonan
Contoh
Penyelesaian
Rujukan