Contoh teorem Varignon dan Latihan yang diselesaikan



The Teorem Varignon menetapkan bahawa jika mana-mana segi empat mata mana-mana mata terus digabungkan ke sisi, satu jajaran yang dihasilkan. Teorem ini dirumuskan oleh Pierre Varignon dan diterbitkan pada tahun 1731 dalam buku ini Elemen matematik".

Penerbitan buku itu berlaku beberapa tahun selepas kematiannya. Oleh kerana Varignon adalah orang yang mempersembahkan teorem ini, paralelogram dinamakan sempena namanya. Teorem ini adalah berdasarkan kepada geometri Euclidean dan membentangkan hubungan geometri kuadrilat.

Indeks

  • 1 Apakah teorem Varignon itu??
  • 2 Contoh
    • 2.1 Contoh pertama
    • 2.2 Contoh kedua
  • 3 Latihan diselesaikan
    • 3.1 Latihan 1
    • 3.2 Latihan 2
    • 3.3 Latihan 3
  • 4 Rujukan

Apakah teorem Varignon??

Varignon mendakwa bahawa angka yang ditakrifkan oleh titik tengah dari segi empat akan sentiasa menghasilkan rentetan rantaian, dan kawasan ini akan sentiasa separuh kawasan segi empat jika ia rata dan cembung. Sebagai contoh:

Dalam angka ini kita dapat melihat segiempat dengan kawasan X, di mana titik tengah dari sisi diwakili oleh E, F, G dan H dan, apabila mereka bergabung, membentuk suatu jajaran panjang. Keluasan segi empat adalah jumlah kawasan segitiga yang terbentuk, dan separuh daripada ini sepadan dengan kawasan paralelogram.

Oleh kerana kawasan segi empat tepat adalah separuh daripada segi segi empat, perimeter dari segi itu dapat ditentukan.

Oleh itu, perimeter adalah sama dengan jumlah panjang diagonal segiempat; ini kerana median segiempat lagi akan menjadi pepenjuru paralelogram.

Sebaliknya, jika panjang pepenjuru segi empat tepat adalah sama, paralelogram akan berlian. Sebagai contoh:

Daripada angka itu dapat dilihat bahawa, dengan menyertai titik tengah sisi-sisi segiempat, rombus diperolehi. Sebaliknya, jika pepenjuru segiempatnya berserenjang, selari akan menjadi segi empat tepat.

Juga jajaran selari akan menjadi segiempat sama apabila segiempat mempunyai pepenjuru dengan panjang yang sama dan juga berserenjang.

Teorema tidak hanya dipenuhi dalam segi empat segi datar, ia juga dilaksanakan dalam geometri ruang atau dalam dimensi yang besar; iaitu, di segi empat yang tidak cembung. Satu contoh ini boleh menjadi octahedron, di mana titik tengah adalah centroids pada setiap wajah dan membentuk selariepiped.

Dengan cara ini, dengan menyertai titik tengah dari angka yang berbeza, paralelogram boleh diperolehi. Cara mudah untuk mengesahkan jika ini benar adalah bahawa pihak yang bertentangan mestilah selari apabila ia dilanjutkan.

Contohnya

Contoh pertama

Pemanjangan sisi bertentangan untuk menunjukkan bahawa ia adalah suatu jangka hierarki:

Contoh kedua

Dengan menyertai titik tengah berlian kami memperoleh persegi panjang:

Teorem digunakan di persimpangan mata yang terletak di tengah sisi sisi empat, dan juga boleh digunakan untuk perkara yang lain, seperti di resection, penta rentas, atau pun nombor terhingga bahagian ( nth), untuk membahagi sisi mana-mana segiempat ke segmen yang berkadar.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Kita ada dalam angka ABCD segi empat segi Z, di mana titik tengah dari sisi ini adalah PQSR. Semak bahawa jajaran paralelogram Varignon terbentuk.

Penyelesaian

Ia boleh disahkan bahawa ketika bergabung dengan PQSR, sebuah garis lurus dari Varignon terbentuk, tepatnya kerana dalam pernyataan titik tengah suatu segiempat diberikan.

Untuk menunjukkan ini, titik tengah PQSR bersatu, jadi dapat dilihat bahawa segiempat lagi yang lain terbentuk. Untuk menunjukkan bahawa ia adalah satu rentetan, anda hanya perlu menarik garis lurus dari titik C ke titik A, jadi anda dapat melihat bahawa CA selari dengan PQ dan RS.

Begitu juga, dengan memanjangkan sisi PQRS, dapat dilihat bahwa PQ dan RS selari, seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Latihan 2

Ia mempunyai segi empat tepat sehingga panjang semua sisinya sama. Apabila menyertai titik tengah dari sisi ini, sebuah rombus ABCD dibentuk, yang dibahagikan dengan dua pepenjuru AC = 7cm dan BD = 10cm, yang bersamaan dengan pengukuran sisi segiempat tepat. Tentukan kawasan berlian dan segiempat tepat.

Penyelesaian

Ingatlah bahawa bidang parallelogram yang terhasil adalah separuh segi empat, anda boleh menentukan kawasan ini mengetahui bahawa ukuran diagonals bertepatan dengan sisi segiempat tepat. Jadi anda perlu:

AB = D

CD = d

Asegi empat tepat = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

Arombus = A segi empat tepat / 2

Arombus = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Latihan 3

Kami mempunyai dalam segi empat segi yang mempunyai kesatuan mata EFGH, panjang segmen diberikan. Tentukan sama ada kesatuan EFGH adalah suatu jajaran selari.

AB = 2.4 CG = 3.06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

FC = 3.94 HA = 2.77

Penyelesaian

Memandangkan panjang segmen, adalah mungkin untuk mengesahkan jika terdapat kekompadankan antara segmen; iaitu, kita boleh tahu sama ada ini adalah selari, yang menghubungkan segmen-segmen segi empat dengan cara berikut:

- AE / EB = 2.4 / 1.75 = 1.37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37

Kemudian perkadaran diperiksa, kerana:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Begitu juga, apabila merancang garis dari titik B hingga titik D, kita dapat melihat bahawa EH selari dengan BD, sama seperti BD selari dengan FG. Sebaliknya, EF selari dengan GH.

Dengan cara ini, dapat ditentukan bahawa EFGH adalah suatu jajaran paralelogram, kerana sisi yang bertentangan adalah selari.

Rujukan

  1. Andres, T. (2010). Tresur Matematik Olympiad. Springer. New York.
  2. Barbosa, J. L. (2006). Geometri Euclidean Flat. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Kajian Geometri. Mexico: Hispanik - Amerika.
  4. Ramo, G. P. (1998). Penyelesaian tidak diketahui masalah Fermat-Torricelli. ISBN - Kerja bebas.
  5. Vera, F. (1943). Unsur Geometri. Bogotá.
  6. Villiers, M. (1996). Beberapa Pengembaraan dalam Geometri Euclidean. Afrika Selatan.