Demonstrasi dan Contoh Teorem Binomial

The teorem binomial adalah persamaan yang memberitahu kita bagaimana untuk membangunkan ungkapan bentuk (a + b)ⁿ untuk beberapa nombor semulajadi n. Binomial tidak lebih daripada jumlah dua elemen, seperti (a + b). Ia juga membolehkan kita untuk mengetahui istilah yang diberikan oleh a^kb^n-k apakah pekali yang berlaku dengannya.

Teorema ini biasanya dikaitkan dengan pencipta Inggeris, ahli fizik dan matematikawan Sir Isaac Newton; Walau bagaimanapun, beberapa rekod telah didapati menunjukkan bahawa di Timur Tengah kewujudannya sudah diketahui, sekitar tahun 1000.

Indeks

• 1 nombor kombinatorial
• 2 Demonstrasi
• 3 Contoh
  • 3.1 Identiti 1
  • 3.2 Identiti 2
• 4 demonstrasi lain
  • 4.1 Demonstrasi oleh induksi
• 5 Curiosities
• 6 Rujukan

Nombor kombinatorial

Teorema binomial memberitahu kita secara matematik berikut:

Dalam ungkapan ini a dan b adalah nombor nyata dan n adalah nombor semulajadi.

Sebelum memberi demonstrasi, mari lihat beberapa konsep asas yang diperlukan.

Nombor kombinasi atau gabungan n dalam k dinyatakan seperti berikut:

Borang ini menyatakan nilai berapa banyak subset dengan elemen k boleh dipilih dari satu set elemen n. Ungkapan algebranya diberikan oleh:

Mari lihat contoh: katakan kita mempunyai sekumpulan tujuh bola, yang mana dua berwarna merah dan sisanya berwarna biru.

Kami ingin tahu berapa banyak cara yang boleh kami memerintahkan mereka berturut-turut. Satu cara adalah untuk meletakkan dua orang merah di kedudukan pertama dan kedua, dan seluruh bola dalam posisi yang tinggal.

Sama dengan kes sebelumnya, kita dapat memberikan bola merah masing-masing pertama dan terakhir, dan menduduki yang lain dengan bola biru.

Sekarang, cara yang berkesan untuk mengira berapa banyak cara yang kita boleh memerintahkan bola berturut-turut menggunakan nombor kombinatorial. Kita dapat melihat setiap kedudukan sebagai elemen dari set yang berikut:

Seterusnya ia hanya perlu memilih subset dua elemen, di mana setiap elemen ini mewakili kedudukan bola merah akan menduduki. Kita boleh membuat pilihan ini mengikut hubungan yang diberikan oleh:

Dengan cara ini, kita mempunyai bahawa terdapat 21 cara untuk menyusun bola tersebut.

Idea umum contoh ini akan sangat berguna dalam demonstrasi teorem binomial. Mari lihat pada satu kes tertentu: jika n = 4, kita ada (a + b)⁴, yang tidak lebih daripada:

Apabila kita membangunkan produk ini, kita mempunyai jumlah istilah yang diperoleh dengan mendarabkan satu elemen dari setiap empat faktor (a + b). Oleh itu, kita akan mempunyai istilah yang akan menjadi bentuk:

Sekiranya kami mahu mendapatkan terma borang tersebut⁴, hanya berlipat ganda dengan cara berikut:

Perhatikan bahawa hanya terdapat satu cara untuk mendapatkan elemen ini; tetapi apa yang berlaku jika kita kini mencari terma untuk²b²? Oleh sebab "a" dan "b" adalah nombor nyata dan, oleh itu, undang-undang komutatif adalah sah, kita mempunyai cara untuk mendapatkan istilah ini untuk membiak dengan ahli-ahli seperti ditunjukkan oleh anak panah.

Melakukan semua operasi ini biasanya agak membosankan, tetapi jika kita melihat istilah "a" sebagai kombinasi di mana kita ingin tahu berapa banyak cara kita boleh memilih dua "a" dari satu set empat faktor, kita boleh menggunakan idea contoh terdahulu. Oleh itu, kami mempunyai perkara berikut:

Jadi, kita tahu bahawa dalam perkembangan terakhir ungkapan (a + b)⁴ kita akan mempunyai 6a betul-betul²b². Menggunakan idea yang sama untuk unsur-unsur lain, anda perlu:

Kemudian kami menambah ungkapan yang diperoleh sebelum ini dan kami perlu:

Ini adalah demonstrasi rasmi untuk kes umum di mana "n" adalah nombor semulajadi.

Demonstrasi

Perhatikan bahawa istilah yang kekal ketika membangun (a + b)ⁿ adalah bentuk untuk^kb^n-k, di mana k = 0,1, ..., n. Menggunakan idea contoh terdahulu, kami mempunyai cara untuk memilih pembolehubah "k" "a" daripada faktor "n" ialah:

Dengan memilih dengan cara ini, kami secara automatik memilih pembolehubah n-k "b". Daripada ini ia mengikuti bahawa:

Contohnya

Memandangkan (a + b)⁵, Apa yang akan menjadi perkembangannya?

Oleh teorem binomial kita perlu:

Teorema binomial sangat berguna jika kita mempunyai ungkapan di mana kita ingin tahu apa pekali istilah tertentu tanpa perlu melakukan pembangunan penuh. Sebagai contoh, kita boleh mengambil soalan berikut: apakah koefisien x⁷dan⁹ dalam pembangunan (x + y)¹⁶?

Oleh teorem binomial, kita mempunyai bahawa pekali adalah:

Contoh lain ialah: apakah pekali x⁵dan⁸ dalam pembangunan (3x-7y)¹³?

Mula-mula kita menulis semula ungkapan dengan mudah; ini adalah:

Kemudian, dengan menggunakan teorem binomial, kita mempunyai bahawa pekali yang dikehendaki adalah apabila kita mempunyai k = 5

Satu lagi contoh kegunaan teorem ini adalah dalam demonstrasi beberapa identiti biasa, seperti yang disebutkan di bawah.

Identiti 1

Jika "n" adalah nombor semulajadi, kita perlu:

Untuk demonstrasi kami menggunakan teorem binomial, di mana kedua-dua "a" dan "b" mengambil nilai 1. Kemudian kita mempunyai:

Dengan cara ini kita telah membuktikan identiti pertama.

Identiti 2

Jika "n" adalah nombor semulajadi, maka

Oleh teorem binomial kita perlu:

Satu lagi demonstrasi

Kita boleh membuat demonstrasi yang berbeza untuk teorem binomial menggunakan kaedah induktif dan identiti pascal, yang memberitahu kita bahawa jika "n" dan "k" adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n ≥ k, maka:

Demonstrasi oleh induksi

Pertama mari kita lihat bahawa asas induktif dipenuhi. Jika n = 1, kita perlu:

Sesungguhnya, kita melihat bahawa ia telah dipenuhi. Kini, mari n = j sedemikian rupa sehingga ia dipenuhi:

Kami ingin melihat bahawa untuk n = j + 1 ia telah dipenuhi bahawa:

Oleh itu, kita perlu:

Dengan hipotesis kita tahu bahawa:

Kemudian, menggunakan harta pengedaran:

Selanjutnya, membangunkan setiap penghitungan yang kita ada:

Sekarang, jika kita berkumpul bersama dengan cara yang mudah, kita perlu:

Menggunakan identiti pascal, kita perlu:

Akhir sekali, ambil perhatian bahawa:

Oleh itu, kita melihat bahawa teorem binomial dipenuhi untuk semua "n" kepunyaan nombor semulajadi, dan dengan ini ujian berakhir.

Curiosities

Nombor kombinatorial (nk) juga dikenali sebagai koefisien binomial kerana ia adalah pekali yang tepat dalam perkembangan binomial (a + b)ⁿ.

Isaac Newton memberi generalisasi teorem ini untuk kes di mana eksponen itu adalah bilangan sebenar; teorem ini dikenali sebagai teorem binomial Newton.

Sudah pada zaman dahulu, hasil ini diketahui untuk kes tertentu di mana n = 2. Kes ini disebut di dalam Elemen daripada Euclides.

Rujukan

1. Johnsonbaugh Richard. Matematik Diskret PHH
2. Kenneth.H. Rosen Matematik Diskret dan Aplikasinya. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Matematik Diskret. McGRAW-HILL.
4. Ralph P. Grimaldi. Matematik Diskret dan Gabungan. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Matematik Diskret dan Combinatoria.Anthropos