Ciri segitiga segi tiga, sifat, formula dan kawasan

A segitiga sama sisi ia adalah poligon dengan tiga sisi, di mana semua adalah sama; iaitu, mereka mempunyai ukuran yang sama. Untuk ciri itu ia diberi nama sama-sama (sebelah sama).

Segitiga adalah poligon dianggap paling mudah dalam geometri, kerana ia terbentuk tiga sisi, tiga sudut dan tiga titik. Dalam kes segitiga sama sisi, dengan mempunyai sisi yang sama, menunjukkan bahawa tiga sudutnya juga akan.

Indeks

• 1 Ciri segi segitiga sama sisi
  • 1.1 Sisi yang sama
  • 1.2 Komponen
• 2 Hartanah
  • 2.1 Sudut Dalaman
  • 2.2 Sudut Luaran
  • 2.3 Jumlah sisi
  • 2.4 sisi Congruent
  • 2.5 Sudut Congruent
  • 2.6 Pengecas, median dan mediatrix adalah kebetulan
  • 2.7 Pemisah dan ketinggian adalah bersempungan
  • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter dan circumcenter bertepatan
• 3 Bagaimana untuk mengira perimeter?
• 4 Bagaimana untuk mengira ketinggian?
• 5 Bagaimana untuk mengira sisi?
• 6 Bagaimana untuk mengira kawasan tersebut?
• 7 Latihan
  • 7.1 Latihan pertama
  • 7.2 Latihan kedua
  • 7.3 Latihan ketiga
• 8 Rujukan

Ciri-ciri segi tiga segitiga

Sisi yang sama

Segitiga sama-sama sama rata adalah angka yang rata dan tertutup, terdiri daripada tiga segmen garis lurus. Segitiga diklasifikasikan oleh ciri-ciri mereka, berkaitan dengan sisi dan sudut mereka; sama sama diklasifikasikan menggunakan ukuran sisinya sebagai parameter, kerana ini sama persis, iaitu, mereka adalah kongruen.

Segitiga sama sisi adalah kes tertentu segitiga isosceles kerana dua sisinya bersifat kongruen. Itulah sebabnya semua segitiga sama sisi sama juga sama, tetapi tidak semua segitiga sama akan sama-sama.

Dengan cara ini, segitiga sama sisi mempunyai sifat yang sama segitiga isosceles.

Segitiga sama sisi juga boleh diklasifikasikan oleh amplitud sudut dalamannya sebagai segi tiga bersudut sama sisi, yang mempunyai tiga sisi dan tiga sudut dalaman dengan ukuran yang sama. Sudut-sudut akan tajam, iaitu, mereka akan kurang daripada 90^o.

Komponen

Segitiga secara umum mempunyai beberapa baris dan mata yang mengarangnya. Ia digunakan untuk mengira kawasan, sisi, sudut, median, bisektor, tegak lurus dan ketinggian.

• Median: ialah garis yang keluar dari titik tengah satu arah dan mencapai puncak bertentangan. Tiga median itu menyepakati titik yang disebut centroid atau centroid.
• Pemisah: adalah sinar yang memisahkan sudut simpang menjadi dua sudut saiz yang sama, itulah sebabnya ia dikenali sebagai paksi simetri. Segitiga sama sisi mempunyai tiga paksi simetri.

Dalam segitiga sama sisi, bisektor ditarik dari sudut sudut ke arah yang bertentangan, memotongnya pada titik tengahnya. Ini sesuai dengan titik yang dipanggil incentro.

• Mediatrix itu: adalah segmen yang berserenjang dengan sisi segitiga yang berasal dari tengah-tengahnya. Terdapat tiga mediasi dalam segitiga dan mereka setuju dalam satu titik yang dipanggil circuncentro.
• Ketinggian: ialah garis yang keluar dari puncak ke tepi yang bertentangan dan juga garis ini berserenjang dengan sisi itu. Semua segitiga mempunyai tiga ketinggian yang bertepatan pada titik yang disebut orthocenter.

Hartanah

Harta utama segitiga sama-sama adalah bahawa mereka akan selalu menjadi segitiga sama, karena asin dibentuk oleh dua sisi kongruen dan persamaan sama persis oleh tiga.

Dengan cara itu, segitiga sama-sama mewarisi semua sifat segitiga isosceles:

Sudut Dalaman

Jumlah sudut dalaman selalu sama dengan 180^o, dan kerana semua sudutnya adalah kongruen, maka setiap satu akan mengukur 60^o.

Sudut Luar

Jumlah sudut luaran akan sentiasa sama dengan 360^o, maka setiap sudut luaran akan mengukur 120^o. Ini kerana sudut dalaman dan luaran adalah tambahan, iaitu menambahkannya akan sentiasa sama dengan 180^o.

Jumlah sisi

Jumlah langkah kedua-dua belah pihak mestilah lebih besar daripada ukuran pihak ketiga, iaitu, a + b> c, di mana a, b dan c adalah ukuran setiap sisi.

Congruent sides

Segitiga sama sisi mempunyai tiga belah pihak dengan ukuran atau panjang yang sama; iaitu, mereka adalah kongruen. Oleh itu, dalam item sebelumnya kita mempunyai a = b = c.

Sudut Congruent

Segitiga sama sisi juga dikenali sebagai segi tiga bersamaan, kerana tiga sudut dalamannya bersesuaian dengan satu sama lain. Ini kerana semua pihaknya juga mempunyai ukuran yang sama.

Pemotongan, median dan mediatrix adalah kebetulan

Pemisah membahagi sisi segitiga menjadi dua bahagian. Dalam segitiga sama sisi bahawa bahagian itu akan dibahagikan kepada dua bahagian yang sama, iaitu segi tiga akan dibahagikan kepada dua segi tiga tepat kongruen.

Oleh itu, bisektor yang diambil dari sudut mana-mana segitiga sama sisi bersamaan dengan median dan pemisah dari sudut bertentangan sudut itu.

Contoh:

Rajah berikut menunjukkan segitiga ABC dengan titik tengah D yang membahagi salah satu bahagiannya kepada dua segmen AD dan BD.

Apabila anda melukis garis dari titik D ke titik yang bertentangan, dengan definisi anda mendapat median CD, yang bersamaan dengan titik C dan sebelah AB.

Oleh kerana segmen CD membahagikan segitiga ABC menjadi dua segitiga yang sama dengan CDB dan CDA, ini bermakna kita akan mempunyai kes perseimbangan: sisi, sudut, sisi dan oleh itu CD juga akan menjadi pemisah BCD.

Apabila melukis segmen CD, bahagikan sudut puncak ke dua sudut yang sama sebanyak 30^o, sudut vertex A terus mengukur 60^o dan CD lurus membentuk sudut 90^o berkenaan dengan titik tengah D.

CD segmen membentuk sudut yang mempunyai ukuran yang sama untuk segitiga ADC dan BDC, iaitu, mereka adalah tambahan sedemikian rupa sehingga pengukuran masing-masing adalah:

Med (ADB) + Med. (ADC) = 180^o

2 _* Med. (ADC) = 180^o

Med. (ADC) = 180^o ÷ 2

Med. (ADC) = 90^o.

Oleh itu, anda mempunyai segmen CD juga pemisah AB.

Pengikisan dan ketinggian adalah kebetulan

Apabila anda melukis halter dari sudut sudut ke arah tengah titik sebaliknya, ia membahagi segitiga sama sisi menjadi dua segi tiga kongruen.

Dengan cara sedemikian rupa bahawa sudut 90 dibentuk^o (lurus). Ini menunjukkan bahawa segmen garisan ini benar-benar tegak lurus dengan sampingan itu, dan dengan definisi garis itu akan menjadi ketinggian.

Dengan cara ini, pemisah mana-mana sudut segitiga sama sisi bersamaan dengan ketinggian relatif di seberang sudut itu.

Orthocenter, barycenter, incenter dan circumcenter bertepatan

Oleh kerana ketinggian, median, bisektor dan bisektor diwakili pada masa yang sama oleh segmen yang sama, dalam segitiga sama sisi titik pertemuan segmen ini - ortocenter, barycenter, incenter dan circumcenter-, akan berada pada titik yang sama:

Bagaimana untuk mengira perimeter?

Perimeter poligon dikira oleh jumlah sisi. Oleh kerana dalam kes ini segitiga sama sisi mempunyai semua sisi dengan ukuran yang sama, perimeternya dikira dengan formula berikut:

P = 3 _* sebelah.

Bagaimana untuk mengira ketinggian?

Oleh kerana ketinggian adalah garis tegak lurus ke pangkalannya, ia membahagikannya kepada dua bahagian yang sama dengan memperluas ke puncak yang bertentangan. Oleh itu, dua segi tiga tepat sama terbentuk.

Ketinggian (h) mewakili bahagian bertentangan (a), separuh dari sisi AC ke sebelah bersebelahan (b) dan sisi BC mewakili hipotenus (c).

Menggunakan teorem Pythagorean, anda boleh menentukan nilai ketinggian:

a² + b²= c²

Di mana:

a² = ketinggian (h).

b² = sebelah b / 2.

c² = sebelah a.

Menggantikan nilai-nilai ini dalam teorem Pythagorean, dan membersihkan ketinggian yang kami ada:

h² + ( l / 2)² = l²

h² +  l²/ 4 = l²

h² = l²  -  l²/ 4

h² = (4_*l² -  l²) / 4

h² =  3_*l²/4

√h² = √ (3_*l²/4)

Jika sudut yang dibentuk oleh sisi kongruen diketahui, ketinggian (diwakili oleh kaki) boleh dikira dengan menggunakan nisbah trigonometri.

Kaki disebut bertentangan atau bersebelahan bergantung pada sudut yang diambil sebagai rujukan.

Sebagai contoh, dalam angka sebelumnya, cathetus h akan bertentangan dengan sudut C, tetapi bersebelahan dengan sudut B:

Oleh itu, ketinggian boleh dikira dengan:

Bagaimana untuk mengira sisi?

Terdapat kes di mana ukuran sisi segitiga tidak diketahui, tetapi ketinggian dan sudut yang dibentuk di simpang.

Untuk menentukan kawasan dalam kes ini adalah perlu untuk menggunakan nisbah trigonometri.

Mengetahui sudut salah satu simpulnya, kaki dikenali dan nisbah trigonometri yang sama digunakan:

Oleh itu, kaki AB, akan bertentangan dengan sudut C, tetapi bersebelahan dengan sudut A. Bergantung pada sisi atau kaki yang bersamaan dengan ketinggian, sisi lain dibersihkan untuk mendapatkan nilai ini, dengan mengetahui bahawa dalam segi tiga sama sisi tiga pihak akan sentiasa mempunyai saiz yang sama.

Bagaimana mengira kawasan tersebut?

Kawasan segi tiga sentiasa dikira dengan formula yang sama, mengalikan asas dengan ketinggian dan membahagi dua:

Kawasan = (b _* h) ÷ 2

Mengetahui ketinggian diberikan oleh formula:

Latihan

Latihan pertama

Bahagian segi tiga sama sisi ABC mengukur 20 cm setiap satu. Kirakan ketinggian dan luas poligon tersebut.

Penyelesaian

Untuk menentukan kawasan segitiga sama sisi itu adalah perlu untuk mengira ketinggian, dengan mengetahui bahawa apabila menggambarnya, ia membahagi segitiga menjadi dua segi tiga tepat sama.

Dengan cara itu teorem Pythagoras boleh digunakan untuk mencari:

a² + b²= c²

Di mana:

a = 20/2 = 10 cm.

b = ketinggian.

c = 20 cm.

Data dalam teorem diganti:

10² + b² = 20²

100 cm + b² = 400 cm

b² = (400 - 100) cm

b² = 300cm

b = √300 cm

b = 17.32 cm.

Maksudnya, ketinggian segitiga sama dengan 17.32cm. Kini adalah mungkin untuk mengira kawasan segitiga yang diberikan dengan menggantikan formula:

Kawasan = (b _* h) ÷ 2

Kawasan = (20 cm _* 17.32 cm) ÷ 2

Kawasan = 346,40 cm² ÷ 2

Kawasan = 173.20 sm².

Satu lagi cara yang lebih mudah untuk menyelesaikan latihan adalah untuk menggantikan data dalam formula langsung kawasan, di mana nilai ketinggian juga secara tersirat:

Latihan kedua

Dalam tanah yang mempunyai bentuk segitiga sama sisi, bunga akan ditanam. Jika perimeter tanah itu sama dengan 450 m, kirakan jumlah meter persegi yang diduduki oleh bunga-bunga itu.

Penyelesaian

Mengetahui bahawa perimeter segi tiga adalah jumlah tiga pihak dan sebagai tanah mempunyai segi tiga sama sisi, tiga pihak ini akan mempunyai takat atau panjang yang sama:

P = sisi + sampingan + sebelah = 3 _* l

3 _* l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Kini hanya perlu untuk mengira ketinggian segitiga itu.

Ketinggian membahagi segitiga menjadi dua segi tiga tepat kongruen, di mana salah satu kaki mewakili ketinggian dan separuh bahagian dasarnya. Oleh teorem Pythagorean, ketinggian boleh ditentukan:

a² + b²= c²

Di mana:

a = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = ketinggian

Data dalam teorem diganti:

(75 m)²+ b² = (150 m)²

5,625 m + b² = 22,500 m

b² = 22,500 m - 5,625 m

b² = 16,875 m

b = √16,875 m

b = 129.90 m.

Jadi kawasan yang akan menduduki bunga-bunga itu ialah:

Kawasan = b * h ÷ 2

Kawasan = (150 m _* 129.9 m) ÷ 2

Kawasan = (19,485 m²) ÷ 2

Kawasan = 9,742.5 m²

Latihan ketiga

Segi tiga sama sisi ABC dibahagikan dengan tembereng garis pergi dari puncak itu kepada C D titik tengah, yang terletak di seberang (AB). Segmen ini berukuran 62 meter. Kirakan kawasan dan perimeter segitiga sama seperti itu.

Penyelesaian

Mengetahui bahawa segitiga sama sisi dibahagikan dengan tembereng garis yang sepadan dengan ketinggian, sehingga membentuk dua segi tiga tepat kongruen, ini seterusnya juga membahagikan sudut puncak C di dua sudut dengan ukuran yang sama, 30^o setiap satu.

Ketinggian membentuk sudut 90^o berkenaan dengan segmen AB, dan sudut puncak A akan mengukur 60^o.

Kemudian gunakan sebagai rujukan sudut 30^o, CD tinggi ditubuhkan sebagai kaki bersebelahan dengan sudut dan BC sebagai hypotenuse.

Daripada data ini, nilai salah satu sisi segi tiga dapat ditentukan, menggunakan nisbah trigonometri:

Seperti dalam segitiga sama sisi semua pihak mempunyai ukuran yang sama atau panjang, ini bermakna bahawa setiap sisi segi tiga sama sisi ABC bersamaan dengan 71.6 meter. Mengetahui bahawa, adalah mungkin untuk menentukan kawasan anda:

Kawasan = b * h ÷ 2

Kawasan = (71.6 m _* 62 m) ÷ 2

Kawasan = 4,438.6 m² ÷ 2

Kawasan = 2,219.3 m²

Perimeter diberikan oleh jumlah tiga sisi:

P = sisi + sampingan + sebelah = 3 _* l

P = 3_*l

P = 3 _* 71.6 m

P = 214.8 m.

Rujukan

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Lukisan Teknikal: aktiviti notebook.
2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
3. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: Budaya.
4. BARBOSA, J. L. (2006). Geometri Euclidean Flat. SBM. Rio de Janeiro, .
5. Coxford, A. (1971). Pendekatan Transformasi Geometri. Amerika Syarikat: Laidlaw Brothers.
6. Euclid, R. P. (1886). Elemen Geometri Euclid.
7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometri dan Trigonometri.
8. León Fernández, G. S. (2007). Geometri Bersepadu Institut Teknologi Metropolitan.
9. Sullivan, J. (2006). Algebra dan trigonometri Pendidikan Pearson.