Ciri segi tiga Isosceles, formula dan kawasan, pengiraan



A segitiga isosceles Ia adalah poligon tiga sisi, di mana dua daripadanya mempunyai pengukuran yang sama dan pihak ketiga pengukuran yang berbeza. Bahagian terakhir ini dipanggil asas. Disebabkan ciri ini ia diberi nama ini, yang dalam bahasa Yunani bermaksud "kaki yang sama"

Segitiga adalah poligon dianggap paling sederhana dalam geometri, kerana ia dibentuk oleh tiga sisi, tiga sudut dan tiga titik. Mereka adalah orang-orang yang mempunyai bilangan dan sudut-sudut yang paling sedikit berkenaan dengan poligon lain, namun penggunaannya sangat luas.

Indeks

  • 1 Ciri-ciri segitiga isosceles
    • 1.1 Komponen
  • 2 Hartanah
    • 2.1 Sudut dalaman
    • 2.2 Jumlah sisi
    • 2.3 Sisi Congruent
    • 2.4 Sudut Congruent
    • 2.5 Ketinggian, median, bisektor dan bisektor adalah kebetulan
    • 2.6 ketinggian relatif
    • 2.7 Orthocenter, barycenter, incenter dan circumcenter bertepatan
  • 3 Bagaimana untuk mengira perimeter?
  • 4 Bagaimana untuk mengira ketinggian?
  • 5 Bagaimana untuk mengira kawasan tersebut?
  • 6 Bagaimana untuk mengira asas segitiga?
  • 7 Latihan
    • 7.1 Latihan pertama
    • 7.2 Latihan kedua
    • 7.3 Latihan ketiga
  • 8 Rujukan

Ciri-ciri segitiga isosceles

Segitiga isosceles diklasifikasikan menggunakan ukuran sisinya sebagai parameter, kerana dua sisinya adalah kongruen (mereka mempunyai panjang yang sama).

Mengikut amplitud sudut dalaman, segitiga isosceles diklasifikasikan sebagai:

  • Segitiga isosceles segi empat tepat: dua sisinya sama. Salah satu sudutnya lurus (90o) dan yang lain adalah sama (45o setiap satu)
  • Isosceles bodoh sudut segitiga: dua sisinya sama. Salah satu sudutnya adalah bodoh (> 90o).
  • Segitiga berselerak isosceles: dua sisinya sama. Semua sudutnya tajam (< 90o), di mana dua mempunyai ukuran yang sama.

Komponen

  • Median: ialah garis yang keluar dari titik tengah satu arah dan mencapai puncak bertentangan. Tiga median itu menyepakati titik yang disebut centroid atau centroid.
  • Pemisah: adalah sinar yang membahagi sudut setiap puncak ke dua sudut yang sama saiznya. Itulah sebabnya ia dikenali sebagai paksi simetri dan jenis segitiga ini hanya mempunyai satu.
  • Mediatrix itu: adalah segmen yang berserenjang ke sisi segitiga, yang berasal dari tengah-tengahnya. Terdapat tiga mediasi dalam segitiga dan mereka setuju dalam satu titik yang dipanggil circuncentro.
  • Ketinggian: ialah garis yang keluar dari puncak ke tepi yang bertentangan dan juga garis ini berserenjang dengan sisi itu. Semua segitiga mempunyai tiga ketinggian, yang bertepatan dalam satu titik yang disebut ortocenter.

Hartanah

Segitiga Isosceles ditakrifkan atau dikenal pasti kerana ia mempunyai beberapa sifat yang mewakili mereka, berasal dari teorem yang dicadangkan oleh ahli matematik yang hebat:

Sudut dalaman

Jumlah sudut dalaman selalu sama dengan 180o.

Jumlah sisi

Jumlah langkah kedua-dua belah pihak mestilah lebih besar daripada ukuran pihak ketiga, a + b> c.

Congruent sides

Segitiga Isosceles mempunyai dua sisi dengan ukuran atau panjang yang sama; iaitu, mereka adalah kongruen dan pihak ketiga berbeza dengannya.

Sudut Congruent

Segitiga Isosceles dikenali sebagai segitiga iso-sudut juga, kerana mereka mempunyai dua sudut yang mempunyai ukuran yang sama (kongruen). Ini terletak di dasar segi tiga, bertentangan dengan sisi yang mempunyai panjang yang sama.

Oleh sebab itu, teorem yang menetapkan bahawa:

"Jika segitiga mempunyai dua sisi kongruen, sudut yang bertentangan dengan kedua-dua pihak juga akan kongruen." Oleh itu, jika segitiga adalah isosceles sudut-sudut pangkalannya adalah kongruen.

Contoh:

Angka berikut menunjukkan segitiga ABC. Dengan melacak bisektornya dari sudut B sudut ke pangkalan, segi tiga dibahagikan kepada dua segitiga sama BDA dan BDC:

Oleh itu, sudut puncak B juga dibahagikan kepada dua sudut yang sama. Pengikis kini adalah sisi (BD) biasa di antara kedua-dua segitiga baru, manakala sisi AB dan BC adalah sisi kongruen. Jadi anda mempunyai kes sebelah kongruen, sudut, sisi (LAL).

Ini menunjukkan sudut sudut A dan C mempunyai ukuran yang sama, kerana ia juga dapat ditunjukkan bahawa kerana segitiga BDA dan BDC adalah kongruen, sisi AD dan DC juga kongruen..

Ketinggian, median, bisektor dan bisektor adalah kebetulan

Talian ini diambil daripada bucu bertentangan pangkal ke titik tengah tapak segi tiga sama kaki, adalah kedua-dua ketinggian, median dan pembahagi dua, serta pembahagi dua sama di sudut yang bertentangan dengan asas.

Semua segmen ini bertepatan dengan yang mewakili mereka.

Contoh:

Rajah berikut menunjukkan segitiga ABC dengan titik pertengahan M yang membahagikan asas kepada dua segmen BM dan CM.

Apabila anda melukis satu segmen dari titik M ke arah vertex yang bertentangan, dengan definisi anda memperoleh median AM, yang relatif kepada titik A dan BC.

Oleh kerana segmen AM membahagi segitiga ABC menjadi dua segitiga sama AMB dan AMC, ini bermakna kes sisi, sudut, kongruen sampingan akan diambil dan oleh itu AM juga akan menjadi pemisah BÂC.

Itulah sebabnya pemisah akan sentiasa sama dengan median dan sebaliknya.

Segmen AM membentuk sudut yang mempunyai ukuran yang sama untuk segitiga AMB dan AMC; iaitu, mereka adalah tambahan sedemikian rupa sehingga ukuran masing-masing adalah:

Med (AMB) + Med. (AMC) = 180o

2 * Med. (AMC) = 180o

Med. (AMC) = 180o ÷ 2

Med. (AMC) = 90o

Ia boleh diketahui bahawa sudut-sudut yang dibentuk oleh segmen AM berkenaan dengan asas segitiga adalah lurus, yang menunjukkan bahawa segmen ini benar-benar tegak lurus ke pangkalan.

Oleh itu ia mewakili ketinggian dan bisektor, dengan mengetahui bahawa M adalah titik tengah.

Oleh itu garis lurus AM:

  • Merupakan ketinggian BC.
  • Ia adalah sederhana.
  • Ia terkandung dalam mediatrix SM.
  • Ia adalah pemisah sudut puncak

Ketinggian relatif

Ketinggian yang relatif kepada sisi yang sama, mempunyai ukuran yang sama juga.

Oleh kerana segitiga isosceles mempunyai dua sisi yang sama, kedua-dua ketinggian masing-masing juga akan sama.

Orthocenter, barycenter, incenter dan circumcenter bertepatan

Sebagai ketinggian, pembahagi dua median bisecting dan pada asas, diwakili oleh kedua-dua segmen yang sama, orthocenter, dan incentro sentroid circumcenter menjadi mata segaris, iaitu mereka berada dalam baris yang sama:

Bagaimana untuk mengira perimeter?

Perimeter poligon dikira oleh jumlah sisi.

Seperti dalam kes ini segitiga isosceles mempunyai dua sisi dengan ukuran yang sama, perimeternya dikira dengan formula berikut:

P = 2*(sebelah a) + (sebelah b).

Bagaimana untuk mengira ketinggian?

Ketinggian adalah garis tegak lurus ke pangkalan, membahagi segitiga menjadi dua bahagian yang sama dengan memperluas ke puncak bertentangan.

Ketinggian mewakili kaki bertentangan (a), separuh asas (b / 2) ke kaki bersebelahan dan sisi "a" mewakili hipotenus.

Menggunakan teorem Pythagorean, anda boleh menentukan nilai ketinggian:

a2 + b2 = c2

Di mana:

a2 = ketinggian (h).

b2 = b / 2.

c2 = sebelah a.

Menggantikan nilai-nilai ini dalam teorem Pythagorean, dan membersihkan ketinggian yang kami ada:

h2 + (b / 2)2 = a2

h2 + b2 / 4 = a2

h2 = a2 - b2 / 4

h = √ (a2 - b2 / 4).

Jika sudut yang dibentuk oleh sisi kongruen diketahui, ketinggian boleh dikira dengan formula berikut:

Bagaimana mengira kawasan tersebut?

Kawasan segi tiga sentiasa dikira dengan formula yang sama, mengalikan asas dengan ketinggian dan membahagi dua:

Terdapat kes di mana hanya pengukuran dua sisi segitiga dan sudut yang terbentuk di antara mereka diketahui. Dalam kes ini, menentukan kawasan yang diperlukan untuk memohon nisbah trigonometri:

Bagaimana untuk mengira asas segitiga?

Oleh kerana segitiga isosceles mempunyai dua sisi yang sama, untuk menentukan nilai asasnya seseorang perlu mengetahui sekurang-kurangnya ukuran ketinggian atau salah satu sudutnya.

Mengetahui ketinggian teorem Pythagorean digunakan:

a2 + b2 = c2

Di mana:

a2 = ketinggian (h).

c2 = sebelah a.

b2 = b / 2, tidak diketahui.

Kami dibersihkan b2 formula dan kami perlu:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Oleh kerana nilai ini sepadan dengan separuh asas, ia mesti didarabkan oleh dua untuk mendapatkan ukuran lengkap asas segitiga isosceles:

b = 2 * (√ a2 - c2)

Sekiranya hanya diketahui nilai sisi yang sama panjang dan sudut di antara ini, trigonometri digunakan dengan menandakan garis dari puncak ke pangkalan yang membahagikan segi tiga sama kaki kepada dua segi tiga tepat.

Dengan cara ini, separuh asas dikira dengan:

Ia juga mungkin bahawa hanya nilai ketinggian dan sudut puncak yang bertentangan dengan pangkalan diketahui. Dalam hal ini dengan trigonometri pangkalan dapat ditentukan:

Latihan

Latihan pertama

Cari kawasan segitiga isosceles ABC, dengan mengetahui bahawa dua sisinya mengukur 10 cm dan sisi ketiga mengukur 12 cm.

Penyelesaian

Untuk mencari kawasan segi tiga yang diperlukan untuk mengira ketinggian menggunakan formula kawasan yang berkaitan dengan Teorema Pythagorean, kerana nilai sudut yang terbentuk antara sisi yang sama tidak diketahui.

Kami mempunyai data berikut segitiga isosceles:

  • Sisi yang sama (a) = 10 cm.
  • Asas (b) = 12 cm.

Nilai-nilai dalam formula digantikan:

Latihan kedua

Panjang dua sisi yang sama dari segitiga isosceles berukuran 42 cm, kesatuan dari sisi ini membentuk sudut 130o. Tentukan nilai pihak ketiga, kawasan segi tiga dan perimeter.

Penyelesaian

Dalam kes ini ukuran pengukuran dan sudut di antara ini diketahui.

Untuk mengetahui nilai sisi yang hilang, iaitu, asas segitiga itu, garisan dilukis berserenjang dengannya, membahagi sudut menjadi dua bahagian yang sama, satu untuk setiap segi tiga kanan yang terbentuk.

  • Sisi yang sama (a) = 42 cm.
  • Sudut (□) = 130o

Sekarang dengan trigonometri, nilai separuh asas dikira, yang sepadan dengan separuh daripada hipotenus:

Untuk mengira kawasan itu adalah perlu untuk mengetahui ketinggian segi tiga yang dapat dikira oleh trigonometri atau oleh teorem Pythagoras, sekarang nilai nilai telah ditentukan.

Dengan trigonometri ia akan:

Perimeter dikira:

P = 2*(sebelah a) + (sebelah b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Latihan ketiga

Kirakan sudut dalaman segitiga isosceles, dengan mengetahui bahawa sudut asas ialah  = 55o

Penyelesaian

Untuk mencari dua sudut yang hilang (Ê dan Ô) adalah perlu untuk mengingati dua sifat segitiga:

  • Jumlah sudut dalaman setiap segitiga akan selalu = 180o:

 + Ê + Ô = 180 o

  • Dalam segitiga isosceles, sudut pangkalan sentiasa kongruen, iaitu, ia mempunyai ukuran yang sama, oleh itu:

 = Ô

Ê = 55o

Untuk menentukan nilai sudut Ê, gantilah nilai-nilai sudut lain dalam peraturan pertama dan jelas Ê:

55o + 55o + Ô = 180 o

110 o + Ô = 180 o

Ô = 180 o - 110 o

Ô = 70 o.

Rujukan

  1. Álvarez, E. (2003). Unsur-unsur geometri: dengan banyak latihan dan geometri kompas. Universiti Medellin.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Lukisan Teknikal: aktiviti notebook.
  3. Angel, A. R. (2007). Algebra asas Pendidikan Pearson.
  4. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
  5. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: Budaya.
  6. José Jiménez, L. J. (2006). Matematik 2.
  7. Tuma, J. (1998). Buku Panduan Matematik Kejuruteraan. Wolfram MathWorld.